Encuentra$A$ dado$A^2$ y$B$ y$(A^2)^{-1} = A^{-1}B$

Question

Este ejercicio se llevó a cabo en la clase que he tenido hoy. El ejercicio fue la siguiente:

Deje que los regulares de la matriz $A$,$B$:

$$A^2 = \left[ \begin{matrix} 2 &-2 & 2\\ -2 & 2 & 2 \\ 4&4&-4 \end{matrix} \right] \hspace{2cm} B = \left[ \begin{matrix} 0 &-1 & 2\\ 0 & 2 & 0 \\ 1&3&-1 \end{matrix} \right]$$

Sabiendo que $(A^2)^{-1} = A^{-1}B$, encontrar A.

Mi Intento

Durante el examen, he intentado lo siguiente:

$(A^2)^{-1} = A^{-1}B \Leftrightarrow A^2(A^2)^{-1} = A^2A^{-1}B \Leftrightarrow I_n = AB \Leftrightarrow A = B^{-1}$

Y procedeed para encontrar la inversa de B, que es:

$A = B^{-1} = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} &\frac{-5}{4} & 1\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}&0 \end{matrix} \right]$

Pero, ya que tienden a cometer errores tontos, me imaginé que sería una mejor manera de encontrar a $A$ sólo por el uso de la matriz de productos. Tuvimos $I_n = AB \Leftrightarrow A = A^2B$. El uso de este método tengo que

$A = A^2B = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 2\\ 2 & 12 & -6 \\ -4& -8&12 \end{matrix} \right]$

Pero como se puede ver el $2$ de la matriz son diferentes. ¿Dónde está el error en mi lógica?

Otra cosa que he notado es que $I_n = AB \Leftrightarrow A*I_n*B = A*(AB)*B \Leftrightarrow I_n = AB = A^2B^2$, pero $A^2B^2$ no es la matriz de identidad, así que tal vez el ejercicio está mal, pero prefiero no apresurarse en que pensar.

Answer 1

Usa las propiedades del determinante para mostrar que la relación dada no se cumple. $$\det ((A^2)^{-1})=-\frac1{64}=\det (A^{-1})\cdot(-4)$ $ de la relación dada y las propiedades del determinante. Entonces $\det (A)=64\cdot 4$ y esto no puede ser cierto.

Answer 2

El problema está roto, aquí es una declaración precisa en la que muestra cómo está roto.

Deje $B=\left[ \begin{matrix} 0 &-1 & 2\\ 0 & 2 & 0 \\ 1&3&-1 \end{matrix} \right].$

Para cada matriz invertible $A$, al menos uno de los siguientes son falsas:

1. $A^2 = \left[ \begin{matrix} 2 &-2 & 2\\ -2 & 2 & 2 \\ 4&4&-4 \end{matrix} \right]$

2. $(A^2)^{-1}=A^{-1}B$

Prueba. Si 2. se mantiene, entonces $$ \det \bigl((A^2)^{-1}\bigl)=\det (A^{-1}B). $$

Directos de computación, $\det B=-4$. Por otro lado, $$ \det\ \left[ \begin{matrix} 2 &-2 & 2\\ -2 & 2 & 2 \\ 4&4&-4 \end{de la matriz} \right]=-64. $$ Por consiguiente, si 1. y 2. ambos mantienen, a continuación, $(-64)^{-1}=(\det A)^{-1}\cdot (-4),\text{ or equivalently, } \det A=256.$ , Pero esto se contradice con 1. Por lo tanto, no existe una matriz invertible de la satisfacción de 1. y 2. de forma simultánea.

Answer 3

Larga historia corta, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

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Te ecuación de $A=A^2B$ no es correcto. A partir de la ecuación $$(A^2)^{-1} = A^{-1}B$$

debes multiplicar por $A$ desde la izquierda para llegar $$A(A^2)^{-1} = B$$

y la multiplica por $A^2$ desde la derecha y se obtiene

$$A=B\cdot A^2$$

que no es lo mismo que $A=A^2B$.

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Sin embargo, incluso el uso de $A=BA^2$ resultados en dos diferentes cálculos de lo $A$ es, y esto me parece un error en el ejercicio. De hecho, desde la $(A^2)^{-1} = A^{-1}B$, se debe seguir ese $I=A^2A^{-1}B=AB$, y a partir de eso, se debe seguir ese $A=B^{-1}$. Sin embargo, no es cierto que $(B^{-1})^2=A^2$ lo que significa que $A=B^{-1}$ no se puede sostener, lo cual es una contradicción.