¿$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^n}{n}$ Convergen o divergen?

Question

Estoy teniendo problemas para averiguar si la siguiente serie converge o diverge.

<span class="math-container">$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^n}{n}$$</span>

Aquí está mi pensamiento:

<span class="math-container">$$\frac{2}{n} \leq \frac{3+(-1)^n}{n}$$</span>

Desde <span class="math-container">$\sum{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}$</span> diverge, entonces también lo hace en <span class="math-container">$\sum{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^n}{n}$</span>

¿Es esto correcto?

Answer 1

Si su prueba es perfectamente bien, de hecho en cuenta, como una alternativa

<span class="math-container">$$\sum{n=1}^{N} \frac{3+(-1)^n}{n}=\sum{n=1}^{N} \frac{3}{n}+\sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^n}{n}$$</span>

y tomando límite <span class="math-container">$N\to \infty$</span> la primera serie en el lado derecho diverge mientras que el segundo de ellos converge (de Leibniz).

Answer 2

Tenga en cuenta <span class="math-container">$$\frac{2}{n}\leq\frac{3+(-1)^n}{n},$ $</span> por que los criterios de comparación, la serie diverge.