¿Qué puede decirse de i.i.d. $X$ y $Y$ tal que $XY=(X+Y)/2$ en la distribución?

Question

Deje $X$ e $Y$ ser yo.yo.d.

Si $(X+Y)/2$ es igual a la distribución a $XY$, entonces ¿qué sabemos acerca de la distribución de $X$ e $Y$?

Me siento como que no puedo decir mucho acerca de estas distribuciones. Solo puedo pensar de los degenerados ejemplos, pero tengo la sensación de que hay algo astuto que me estoy perdiendo.

Answer 1

Asumo que los dos primeros momentos de $X$ existen.

$$E[X] = \frac{E[X] + E[X]}{2} = E\left[\frac{X+Y}{2}\right] = E[XY] = E[X]E[Y] = E[X]^2$$ por lo $E[X]$ es $0$ o $1$.

Del mismo modo $$\frac{E[X^2]+E[X]^2}{2} = E \frac{(X+Y)^2}{4} = E[X^2 Y^2] = E[X^2] E[Y^2] = E[X^2]^2.$$

• En el caso de $E[X]=0$ tenemos $E[X^2] = 2 E[X^2]^2$ lo $E[X^2] = \text{Var}(X)$ es $0$ o $1/2$.
• En el caso de $E[X]=1$ tenemos $E[X^2] = 2 E[X^2]^2 - 1$, lo $E[X^2] = 1$. Pero esto significa $\text{Var}(X) = 0$.

El único no-degenerada caso es $E[X] = 0$ e $\text{Var}(X) = 1/2$. No estoy seguro de cómo construir un ejemplo para este caso o mostrar que este caso es imposible.

Answer 2

Tratar de algo así como <span class="math-container">$X=\sin 2\pi T$</span> <span class="math-container">$T\sim U(0,1)$</span>