La Conjetura de Goldbach y la de Hardy-Littlewood Asintótica

Question

Una fuente que estoy leyendo se refiere a la conjetura de Goldbach (que cada número es la suma de dos números primos), y luego sigue inmediatamente con el "Hardy-Littlewood conjetura" que

$\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n) = 2 \prod \limits_{p \geq 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \left( \prod \limits_{p | N} \frac{p-1}{p-2}\right)N^{1+o(1)}$

lo que se denomina "Goldbach para casi todos los números pares", y al parecer esto también

$\Longleftrightarrow \prod \limits_{p | N} (\frac{p-1}{p-2}) N^{1+o(1)} = O(\log N)^c$. Aquí, $\Lambda(n)$ denota el Von Mangoldt función.

Se establece el siguiente teorema:

Deje $A \in \mathbb{R}$. A continuación, para todos, sino $\frac{x}{\log^A x}$ incluso los números de $N \leq x$, $\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n) = 2 \prod \limits_{p \geq 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \left( \prod \limits_{p | N} \frac{p-1}{p-2}\right)N (1+o_A(1))$ donde $o_A$ denota el hecho de que la constante en la limitación de comportamiento puede depender de $A$.

Ahora no puedo ver cómo esto es igual a Goldbach a todos los que realmente. Puedo ver que si $N= p+q$ es la suma de 2 números primos, a continuación, el término correspondiente en el lado izquierdo será distinto de cero, pero el Von Mangoldt función también es distinto de cero para potencias de números primos, por lo que podría ser distinto de cero para algunos $N= P^i + Q^j$. Estoy empezando a pensar que la CARTA puede ser algún tipo probabilístico de inclinación en la conjetura, pero no puede ver.

Puede darse el caso de que el Von Mangoldt función es insignificante en todo el primer potencias, excepto los números primos sí mismos (esto es, sin duda a menudo el caso), pero al menos parece que esto debería haber sido declarado en algún lugar, ya que ciertamente no parece un trivial deducción para mí. O se trata simplemente de una "aproximación a Goldbach"; es decir, una relación que parece dar a entender que Goldbach bien podría ser cierto, pero como he dicho no elimina el problema de la primer poderes? (Obviamente soy consciente de que Goldbach es probada, pero el texto no aclarar si esto es un demostró declaración más débil de Goldbach, o una probada instrucción equivalente a la de Goldbach: sospecho que la última.)

Yo también no puede ver cómo el "$\Longleftrightarrow$" de la siguiente manera a partir de la primera conjetura; estaría muy agradecido si alguien me pudiera ayudar a entender lo que está pasando aquí, al menos de forma heurística, si no formalmente.

A continuación, el texto pasa a "probar" Vinogradov desde el último teorema de la que ha sido declarado (digo "probar" porque no puedo ver cómo la prueba de obras). Dice:

Corolario (Vinogradov) Cada suficientemente grande número impar es la suma de 3 números primos. Prueba: Deja que N sea impar. Luego de tomar $A=2$ en el teorema, hay algunos prime $p\leq N/2$ para que el de Hardy-Littlewood asintótica sostiene. En particular, $N-p$ es la suma de 2 números primos.

Ahora en este momento yo realmente no pueden ver lo que está sucediendo: la suma de los Von Mangoldt función en la LHS, seguramente se acaba de ir de cero a casi todas las $N-n$ es una suma de 2 números primos (a menos que esta suma de 2 números primos es un excelente poder de curso), y no veo cómo la RHS no nos dice nada acerca de la LHS, excepto que no es "extremadamente pequeño". Alguien podría explicar qué está pasando aquí?

Es posible que me transcribe parte de este material equivocado, a pesar de que no veo donde podría haber cometido un error que podría haber causado todos mis confusiones simultáneamente. De nuevo, la información que podría aportar sería desesperadamente apreciada; muchas gracias de antemano.

Answer 1

Hay algunas irregularidades en sus declaraciones de apertura que parecen ser errores tipográficos. La declaración de los Hardy-Littlewood conjetura debe ser

$\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n) = 2 \prod \limits_{p\ge3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \left( \prod \limits_{p \mid N, p\ge 3} \frac{p-1}{p-2}\right)N(1+o(1)),$

en lugar de terminar con $N^{1+o(1)}$, como declaró en un principio. La versión anterior, aunque no es menos cierto, no es más preciso que decir $\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n) = N^{1+o(1)}$. En particular, yo reclamo que

$2 \prod \limits_{p\ge3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \left( \prod \limits_{p \mid N, p\ge 3} \frac{p-1}{p-2}\right) = N^{o(1)}.$

Para ver esto, observe que el infinito producto ($p\ge 3$) converge para alguna constante positiva, por lo que el factor de $2 \prod \limits_{p \geq 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right)$ $N^{c/(\log N)} = N^{o(1)}.$ El resto de los factor es de al menos 1, y menor que $\prod\limits_{p \mid N, p\ge 3} \left(1 + \frac{2}{p-1}\right) \le \prod\limits_{p\mid N} \left(1 + \frac{1}{p-1}\right)^2 = \left(\frac{N}{\phi(N)}\right)^2,$ que es bien conocido para ser $N^{O(1/\log\log N)} = N^{o(1)}.$

El "equivalente" de la formulación en la segunda ecuación es un poco desconcertante: es muy falso, como escrito (el lado izquierdo es ciertamente mayor que $\sqrt{N}$ y por lo tanto mucho más grande de lo $O(\log N)^c$), pero no veo una evidente corrección. No puedo entender por qué escribir "la suma de los Von Mangoldt función en la LHS, seguramente acaba de llegar a cero" — puede usted explicar? Creo que me puedan responder a sus preguntas restantes.

• La relación entre el $\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n)$ y Goldbach problema: estás en lo correcto en que la suma también incluye soluciones de la forma $p^r + q^s = N$. Sin embargo, el número de soluciones que contengan una fuente primaria de energía es muy pequeña, sin duda menos de $O(\sqrt{N})$ (para ver esto, observe que hay menos de $\log N/\log 2$ opciones para $r > 1$, y sólo $\pi(\sqrt{N})$ opciones para $p$.

  Por lo tanto, incluso si restamos todos prime soluciones de energía de $\sum \limits_{n \leq N} \Lambda(n) \Lambda(N-n)$, se pierde en la mayoría de las $O(\sqrt{N} \log^2 N) = N^{1/2 + o(1)}$, que es insignificante en comparación con $N^{1+o(1)}$. El primer poderes, como de costumbre, no tienen ningún efecto aquí (a pesar de que juegan un papel en el primer número de carreras).

• Cada gran número impar es la suma de 3 números primos. El Teorema muestra que hay muy pocas excepciones a Goldbach de la conjetura. En particular, para suficientemente grande $N$ hay en la mayoría de las $N/(\log N)^2$ incluso los números de entre los $N/2$ $N$ que son no de la suma de dos números primos. Pero hay cerca de $N/(2 \log N)$ impares primos $p$$1$$N/2$, y para cada uno, $N-p$ es un distinto número entre el$N/2$$N$.

  Si usted puede encontrar apenas a un primer $p$ tal que $N-p$ es la suma de dos números primos $q+r$, puede escribir $N = p+q+r$. Mediante la comparación de $N/(2 \log N)$$N/(\log N)^2$, podemos ver que hay más números primos $p$ que no son elegibles los valores de $N-p$, por lo que esta es siempre posible una vez que las $N$ es lo suficientemente grande.