(a) Suponer eso . Demostrar eso .

Question

Demuestre que $\displaystyle\int_{0}^{\frac\pi 6} {\cos ({x^2)}\mathrm{d}x\ge\dfrac12}$ .

Sé que esta es una integral de Fresnel pero sin entrar en el cálculo avanzado, ¿hay alguna forma de mostrar que esto es cierto? Usando el conocimiento del cálculo 1, probé la suma de Riemann para probar esto y me quedé atascado. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para $0 < x \le \frac \pi 6 < 1$ tenemos $x^2 < x$ y, por tanto, $$ \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ cos (x ^ 2) \, dx> \ int_ {0} ^ {\ pi / 6} \ cos (x) \ dx = \ sin (\ frac \ pi 6) = \ frac 12 $$

Answer 2

Alternativamente, hay una prueba sin cálculo de que $\cos(x)\geq 1-\dfrac{x^2}{2}$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Use esto para mostrar que $$\int_0^{\frac{\pi}{6}}\,\cos(x^2)\,\text{d}x\geq \int_0^{\frac{\pi}{6}}\,\left(1-\frac{x^4}{2}\right)\,\text{d}x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi^5}{77760}\gtrsim 0.519663>\frac12\,.$ $ Esta aproximación parece ser muy buena: $$\int_0^{\frac{\pi}{6}}\,\cos(x^2)\,\text{d}x\approx0.519677\,.$ $

Answer 3

Como $\cos(x^2)\geq \cos((\pi/6)^2)$ para $0\leq x \leq \frac\pi6$ , obtenemos $$ \ int_0 ^ {\ pi / 6} \ cos (x ^ 2) dx \ geq \ int_0 ^ {\ pi / 6} \ cos \ left ( \ frac {\ pi ^ 2} {36} \ derecha) dx \ approx 0.504 $$