¿Cuáles son los posibles campos magnéticos de magnitud constante?

Question

Una respuesta, ahora eliminada, a esta pregunta reciente me llevó a preguntarme esto y no encuentro una respuesta clara en la capa superior de los resultados de Google, así que pensé en preguntar aquí.

¿Cuáles son los posibles campos magnéticos de magnitud constante?

Es decir, supongamos que $\mathbf B: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ es

• solenoide, por lo que $\nabla \cdot \mathbf B = 0$ y
• con una magnitud constante $|\mathbf B(\mathbf r)| \equiv B_0$ .

¿Qué se puede decir sobre $\mathbf B$ ? ¿Es la condición de solenoide lo suficientemente fuerte como para implicar que $\mathbf B(\mathbf r)$ debe ser un campo vectorial constante? ¿O es posible que la dirección del campo vectorial cambie de un punto a otro? Si es así, ¿puede formularse una descripción general de esta clase de campos?

Answer 1

Respuesta parcial: si no hay corrientes, todos esos campos magnéticos deben ser constantes.

En ausencia de corrientes, tenemos $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} = 0.$$ La condición de ausencia de rizos es equivalente a $\partial_i B_j = \partial_j B_i$ como queda claro al escribirlo en términos de formas diferenciales. Como resultado, el Laplaciano de cualquier componente del campo desaparece, $$\partial^2 B_i = \partial_j \partial_j B_i = \partial_j \partial_i B_j = \partial_i (\partial_j B_j) = 0.$$ El laplaciano de la magnitud al cuadrado es por tanto $$\partial^2 |\mathbf{B}|^2 = 2B_i \partial^2 B_i + 2 (\partial_j B_i)(\partial_j B_i) = 2 (\partial_j B_i)^2.$$ Desde $|\mathbf{B}|^2$ es constante, el lado izquierdo es cero y también lo son todos los términos del lado derecho. Pero entonces $\partial_j B_i = 0$ Así que $\mathbf{B}$ es constante.

Cuando hay corrientes, recogemos un término extra, $$\partial^2 B_i \sim (\nabla \times \nabla \times \mathbf{B})_i \sim (\nabla \times \mathbf{J})_i.$$ Por lo tanto, el argumento también pasa si $\nabla \times \mathbf{J} = 0$ . No estoy seguro de cuál es la respuesta para el general $\mathbf{J}$ .

Answer 2

La energía de un campo magnético es [Jackson, Electrodinámica clásica (1975) p. 216, convertido a unidades del SI].

$$W = \frac{1}{2}\int \mathbf{H}\cdot\mathbf{B} d^3 x.$$

En el vacío,

$$\mathbf{H} = \mathbf{B} / \mu_0,$$

así que

$$W = \frac{1}{2}\int B^2 d^3 x.$$

Integrada en todo el espacio, la energía de un campo con constante $B^2$ es infinito a menos que $B=0$ . Por lo tanto, el único campo magnético posible con magnitud constante es idéntico a cero. Nótese que la dirección de $\mathbf{B}$ no importa porque está en un producto punto consigo mismo.

En un cuerpo diamagnético o paramagnético, sustituir $\mu_0$ por $\mu$ y se obtiene el mismo resultado. ¡No es que haya infinitos cuerpos diamagnéticos o paramagnéticos!