Soluciones a la medida!

Question

Me llegó a través de un rompecabezas en Matemáticas Calendario que tengo. La mayoría de ellos puedo hacer con bastante facilidad, pero este me tiene perplejo, y estaba esperando una sugerencia o solución. La pregunta es:

¿Cuáles son las soluciones a

$$\left \{ a,\ b,\ c,\ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},\ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} \right \} \subset \mathbb{Z}$$

Yo he probado un par de cosas, pero no creo que me haya hecho ningún progreso significativo, además de determinar que $a = \pm b = \pm c \ $ son sólo evidentes las posibles soluciones. Mi esperanza es demostrar que no hay otra solución puede existir.

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No sé si ayuda, pero también hice una búsqueda por fuerza bruta para coprime números de $a,b,c$ para que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \in \mathbb{Z}$, $1 \leq a \leq b \leq c$, e $a \leq 100, b \leq 1000, c \leq 10000$.

La razón de coprimality es que si una solución tiene un factor común, podemos dividir por el factor común y tienen otra solución que satisface las condiciones.

Los trillizos he encontrado que cumplen esto son:

$(a, b, c) = (1, 1, 1), (1,2,4), (2, 36, 81), (3, 126, 196), (4, 9, 162), (9, 14, 588), (12, 63, 98), (18, 28, 147), (98, 108, 5103)$

Ninguno de estos, excepto el primer satisfacer $\dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} \in \mathbb{Z}$.

Answer 1

Supongamos que $\displaystyle a,b,c,\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \in \mathbb Z$. Considere el polinomio $$P(x)=\left(x-\frac{a}{b}\right)\left(x-\frac{b}{c}\right)\left(x-\frac{c}{a}\right) = x^3-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)x^2+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)x-1.$$ Sus coeficientes son números enteros. Desde que el líder del coeficiente de $1$, todas las raíces racionales de $P$ son enteros. Desde el término constante es $-1$, se sigue que todo entero raíces de $P$ se $1$ o $-1$ (se debe dividir el término constante). Desde $\dfrac ab, \dfrac bc, \dfrac ca$ son racionales raíces de $P$, se deduce que el $\dfrac ab, \dfrac bc, \dfrac ca \in \{-1,1\}$.

Answer 2

Deje $(a,b,c)$ satisfacer los requisitos. Deje $(a,b,c)$ son coprime. Entonces $abc$ divide tanto a $a^2c + b^2a + c^2b$ e $a^2b+b^2c+c^2a$.

Deje $p$ ser un primer factor de $a$. Deje $d$ ser el número más grande tal que $p^d$ divide $a$. A continuación, $p$ divide $b^2c$ e $c^2b$. Suponga $p$ divide $b$ (y no divide $c$).

Desde $p^{d+1}$ divide $a^2$, $ab$, e $abc$, en donde este último se divide $a^2c + b^2a + c^2b$, se deduce $p^{d+1}$ divide $b$. Esto a su vez implica que $p^{d+1}$ divide $a^2b+b^2c+c^2a$. Ahora, $p$ no divide $c$ por la asunción de coprimality, por lo tanto $p^{d+1}$ divide $a$, una contradicción a la maximality de $d$.

Por lo tanto, ninguno de $a,b,c$ tiene un factor primo. Así que todos estos números son iguales $\pm1$.