¿Existe una función continua 2 a 1 de la esfera a sí misma?

Question

Me interesa la siguiente pregunta:

¿Existe una función continua $f:S^2\to S^2$ tal que, para cualquier $p\in S^2$ , $|f^{-1}(\{p\})|=2$ ?

Sospecho que la respuesta es no, pero no sé cómo demostrarlo. Todo lo que sé en este momento es que $f$ no puede ser un mapa de cobertura.

Porque si $f$ es un mapa de cobertura, tome cualquier $p\in S^2$ . Entonces $f$ se limita a un mapa de cobertura de $S^2\backslash f^{-1}(p)$ a $S^2\backslash \{p\}$ . Sin embargo, el grupo fundamental de $S^2\backslash f^{-1}(p)$ es $\mathbb{Z}$ y el grupo fundamental de $S^2\backslash \{p\}$ es trivial. Que $f$ es un recubrimiento entonces da que existe un homomorfismo inyectivo desde $\mathbb{Z}$ al grupo trivial, una contradicción. Por lo tanto, $f$ no puede ser un mapa de cobertura.

Eso es todo lo que tengo hasta ahora. Cualquier otro progreso es muy apreciado.

Actualización (21 de diciembre de 2018): He publicado esta pregunta en MO

Answer 1

EDITAR El argumento es incompleto. Como se señala en los comentarios de yoyo, la separación de las preimágenes no está garantizada por la compacidad.

No existe tal mapa.

Para es hay, demuestro a continuación que tiene que ser un mapa de cobertura y usted demostró que no es posible (o simplemente remarcar que a partir del hecho de que $S^2$ es simplemente conectado, no admite ninguna cobertura no trivial).

Supongamos que $f$ satisface su hipótesis. Por la compacidad de $S^2$ existe un $\varepsilon>0$ tal que para todo $p \in S^2$ para todos $x \neq y \in f^{-1}(p)$ tenemos $d(x,y) \ge 2 \varepsilon$ (donde $d$ es cualquier métrica compatible en la esfera). En consecuencia, para cualquier $x \in S^2$ , si $U$ es la bola cerrada centrada en $x$ y el radio $\varepsilon$ entonces la restricción de $f$ a $U$ es inyectiva, y por compacidad, un homeomorfismo sobre su imagen.

Hemos demostrado que $f$ es un homeomorfismo local, y por hipótesis es suryente. Como su dominio es compacto y su rango conexo, es un recubrimiento.

Answer 2

Si he entendido bien, la respuesta de Florentin MB estará completa si podemos demostrar que $f$ es localmente inyectiva. Siéntase libre de decirme si estoy equivocado aquí, pero creo que al menos podemos demostrar que $f$ es localmente inyectiva si $f$ está abierto. Me parece que $f$ debería estar abierto, pero no sé cómo probarlo.

Dejemos que $x\in S^2$ y $f(x)=f(y)$ para $x\neq y$ . Entonces dejemos que $U$ y $V$ sean aperturas disjuntas tales que $x\in U$ y $y\in V$ . Si $f$ está abierto, entonces $f(U)$ y $f(V)$ están abiertos, así que $W:=f(U)\cap f(V)$ está abierto. Ahora para cada $w\in W$ existe $u\in U$ y $v\in V$ tal que $f(u)=f(v)=w$ . Porque $U$ y $V$ son disjuntos, encontramos $u\neq v$ Así que porque $|f^{-1}(\{w\})|=2$ encontramos $f^{-1}(\{w\})=\{u,v\}$ . Por lo tanto, encontramos $f^{-1}(W)\subset U\cup V$ . Porque $f$ es continua, $f^{-1}(W)$ está abierto, por lo que $N:=f^{-1}(W)\cap U$ está abierto. Observe que $x\in N$ Así que $N$ es una vecindad de $x$ . Finalmente, $f$ es inyectiva en $N$ porque para todos $n\in N$ tenemos $f(n)\in W$ . Esto da $f^{-1}(\{f(n)\})=\{n,v\}$ para algunos $v\in V$ y $U$ y $V$ son disjuntos, por lo que $v\not\in U$ .