Mi libro de texto me pide que evalúe el límite $$\lim_{x\to-\infty} {2x-1\over \sqrt{3x^2+x+1}}$$ que se evalúa como $-2\over\sqrt{3}$ . El método del libro consiste en factorizar $x^2$ de la raíz en el denominador:
$$\begin{align} \lim_{x\to-\infty} {2x-1\over \sqrt{3x^2+x+1}} & = \lim_{x\to-\infty} {2x-1\over \sqrt{x^2\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}} \\ & = \lim_{x\to-\infty} {2x-1\over -x\sqrt{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} \\ & = \lim_{x\to-\infty} {-2+\frac{1}{x}\over \sqrt{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} \\ & = {-2\over\sqrt{3}} \end{align}$$
el segundo paso se justifica porque $x\to-\infty$ implica $x\lt0$ Así que $\sqrt{x^2}=-x$ .
En mi intento terminé con el negativo de la respuesta correcta:
$$\begin{align} \lim_{x\to-\infty} {2x-1\over \sqrt{3x^2+x+1}} & = \lim_{x\to-\infty} \left({2x-1\over \sqrt{3x^2+x+1}}\cdot\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\right) \\ & = \lim_{x\to-\infty} {2-\frac{1}{x}\over \sqrt{\frac{1}{x^2}\left(3x^2+x+1\right)}} \\ & = \lim_{x\to-\infty} {2-\frac{1}{x}\over \sqrt{3+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} \\ & = {2\over\sqrt{3}} \end{align}$$
¿En qué me he equivocado? Sospecho que el error está en mi segundo paso, pero no soy capaz de identificar qué ha fallado exactamente.
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Además, gracias mucho por incluir una explicación completa de sus pensamientos, un contexto suficiente para saber qué puede utilizar y una identificación clara de dónde cree que está su error. Esta es una pregunta bien redactada .
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Conviene señalar que siempre hay que comprobar las condiciones antes de aplicar cualquier "regla". Para esta cuestión es relevante el hecho de que para los reales $a,b,c$ tenemos $(a^b)^c = a^{b·c}$ si $a$ es positivo y no necesariamente de otra manera: $((-1)^6)^{1/2} \ne (-1)^{6·1/2}$ .
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En el futuro, puede ser útil sustituir $x$ con $-x$ cuando se trata de límites en el eje negativo.
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Tenga en cuenta que $\displaystyle\,\sqrt{\,{a^{2}}\,}\, = \left\vert\,{a}\,\right\vert$