El orden del discriminante de una buena reducción de la curva elíptica

Question

La notación. Deje $p$ ser un número primo, $K$ de un número finito de extensión de $\mathbb{Q}_p$ $E|K$ una curva elíptica que tiene buena reducción. El discriminante $d_{E|K}$ $E|K$ es un elemento de la multiplicativa grupo $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times12}$, donde $\mathfrak{o}$ es el anillo de enteros de $K$.

Pregunta. ¿El orden de $d_{E|K}$ como un elemento de $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times12}$ muestran algún lugar ? Se relaciona con algunos otros invariantes de la $E|K$ ?

De fondo. $E$ puede ser definido a lo largo del $K$ por un mínimo cúbicos

$f=y^2+a_1xy+a_3y-x^3-a_2x^2-a_4x-a_6=0,\ \ (a_i\in\mathfrak{o})$;

su discriminante $d_f$ $\mathfrak{o}^\times$ (debido a $E$ ha buena reducción). Si reemplazamos $f$ por otro mínima cúbico $g$ la definición de $E$, $d_f$ se sustituye por $d_g=u^{12}d_f$ para algunos $u\in\mathfrak{o}^\times$. Por lo que la clase $d_{E|K}$ $d_f$ en $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times12}$ sólo depende de $E|K$, no en la elección de un mínimo cúbicos definición de $E$. Se puede demostrar que cada clase en el grupo finito $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times12}$ es el discriminante de algunas buenas reducción de la curva elíptica.

Adenda. Como Qing Liu comentarios, uno se puede preguntar, dada una curva elíptica $E$ a través de una extensión finita $k|\mathbb{F}_p$, si el orden de los discriminante $d_{E|k}\in k^\times/k^{\times12}$ se muestra en algún lugar. Al $p\neq2,3$, las dos preguntas son equivalentes.

Answer 1

Voy a dar una intrínseca caracterización de abajo por lo que esta unidad de la clase modulo 12 de poderes significa, que puede verse como una respuesta de tipo: expresa la obstrucción a la extracción de las 12 de la raíz de un cierto isomorfismo canónico entre el 12 de poderes de la línea de paquetes (y por lo que se podría cambiar la respuesta a: ¿de dónde viene la necesidad de extraer un 12 de raíz?)

Para cualquier anillo de $R$, el grupo de $R^{\times}/(R^{\times})^{12}$ natural de los mapas en el grado-1 fppf cohomology de $\mu_{12}$${\rm{Spec}}(R)$, por lo que clasifica las clases de isomorfismo de ciertos $\mu_{12}$-torsors para la fppf topología sobre esta base. (Es decir, los $\mu_{12}$-torsors cuya pushout a un $\mathbf{G} _m$-torsor es trivial.)

Es el mismo uso de la etale topología de al $12$ es una unidad en $R$ (como, a continuación, $\mu_{12}$ es etale $R$). Así que el problema es asociar a cada curva elíptica $f:E \rightarrow {\rm{Spec}}(R)$ sobre un anillo de un canónica $\mu_{12}$-torsor (con la propiedad adicional de que su pushout a un $\mathbf{G} _m$-torsor es trivial).

En la teoría de Weierstrass plana modelos de curvas elípticas $E$ sobre una base esquema de $S$ (esto incluye la condición de "buena reducción") no es un obstáculo para la existencia de un modelo, es decir, si es o no la línea de paquete de $\omega_{E/S} = f_{\ast}(\Omega^1_{E/S})$ $S$ admite mundial de la trivialización. La necesidad de tal trivialidad es debido al hecho de que un modelo de Weierstrass produce una banalización (${\rm{dx}}/(2y+\dots)$ cosa), y la suficiencia se explica en el Capítulo 2 de Katz-Mazur (donde se utiliza una opción de banalizar la sección para distinguir algunos parámetros formales a lo largo del origen y de pasar de este a un modelo de Weierstrass a través de la relación global entre 1-formas, la relación espacio cotangente ${\rm{Cot}}_e(E)$ a lo largo de la sección de identidad $e$, e $\mathcal{O}(ne)/\mathcal{O}((n-1)e) \simeq {\rm{Cot}}_e(E)^{ \otimes -n}$ $n = 2, 3$).

Dicho esto, independientemente de si o no la línea de paquete de $\omega_{E/S}$ es trivial (aunque siempre es al $S$ es local), la línea bundle $\omega_{E/S}^{\otimes 12}$ es canónicamente trivial (en una manera que es compatible con el cambio de base y functorial en isomorphisms de curvas elípticas): ese es el significado de los clásicos del hecho de que el producto de $\Delta$ con el 12 de alimentación de la sección de ${\rm{d}}x/(2y+\dots)$ es invariante bajo elección de modelo de Weierstrass. Esto también subyace Mumford del cálculo (recientemente revisada por Fulton-Olsson) del grupo de Picard de los módulos de la pila de curvas elípticas como $\mathbf{Z}/12\mathbf{Z}$, lo que se podría considerar como proporcionar un gran papel a la banalización. Trabajando con el compactified de los módulos de la pila de más de $\mathbf{Z}$ (por lo generalizado de curvas elípticas con geométricamente irreductible, pero posiblemente no fibras lisas, y por lo tanto, trabajar con relativa dualizing gavilla generalizar $\omega_{E/S}$ cuando lo que permite no-fibras lisas), la trivialización (que podríamos generosamente atributo a Ramanujan) es único hasta un signo, que a su vez está clavado por la Tate curva de más de $\mathbf{Z}[[q]]$ y el isomorfismo de su grupo formal con $\widehat{\mathbf{G}}_m$. Así que esta banalización es realmente un canónica cosa, independiente de cualquier teoría de modelos de Weierstrass.

Dejando $\theta_{E/S}$ denotar esta intrínseca de la vulgarización de la sección de $\omega _{E/S}^{\otimes 12}$ como se acaba de definir, es natural preguntarse si $\theta _{E/S}$ es el 12 de alimentación de banalizar la sección de $\omega _{E/S}$. Tenga en cuenta que este es un trivial estado, incluso cuando se $\omega _{E/S}$ es trivial (como al $S$ es local). De todos modos, el functor de tales 12 de raíces es un $\mu _{12}$-torsor sobre $S$ para el fppf topología (y etale si 12 es una unidad en la base), y como tal corresponde a la inversa de la clase de $\Delta$ en la pregunta (por que la base de los locales). Así que es una respuesta de tipo: se describe la obstrucción a la extracción de un 12 de la raíz de la canónica de la trivialización de $\omega^{\otimes 12}$ obtenido por el retroceso de la trivialización sobre el espacio de moduli de curvas elípticas (hasta un problema de los signos en el exponente). Ahora hace una vez la atención para extraer un 12 de raíz? Eso es otro tema...

Answer 2

Brian respuesta da una buena explicación. Aquí es un poco más prosaico descripción de cómo 12 aparece cuando el discriminantes se ponen juntos a nivel mundial. Deje $K$ ser un campo de número, y para cada uno de los prime ideal $\mathfrak{p}$$K$, vamos a $d_{\mathfrak{p}}$ ser un mínimo discriminante de $E$$\mathfrak{p}$. Es decir, tomar una ecuación de Weierstrass con $\mathfrak{p}$-coeficientes enteros tales que el discriminante de la ecuación tiene una mínima valoración. Si $E$ tiene buena reducción en$\mathfrak{p}$, $d_{\mathfrak{p}}$ es una unidad, pero en general no lo es. Sin embargo, $d_{\mathfrak{p}}$ está bien definido hasta un elemento de $\mathfrak{o}_{\mathfrak{p}}^{\times12}$. Ahora podemos formar el global mínima discriminante, $$ \Delta_{E/K} = \prod_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}^{ord_{\mathfrak{p}}d_{\mathfrak{p}}}. $$ Si nos fijamos en el ideal de la clase de $\Delta_{E/K}$ en el ideal del grupo de clase de $K$, entonces se puede demostrar que no existe un ideal de clase $\overline{\alpha}_{E/K}$ tal que $$ \overline{\Delta}_{E/K} = \overline{\alpha}_{E/K}^{12} \quad\mbox{en el ideal de la clase de grupo de } K. $$ Una propiedad útil de las $\overline{\alpha}_{E/K}$ es el siguiente teorema: La curva de $E/K$ global mínima de Weierstrass modelo si y sólo si $\overline{\alpha}_{E/K}=1$.

Para más detalles, véase la Sección VIII.8 de La Aritmética de Curvas Elípticas, Springer, GTM 106, 2009.

Answer 3

Esto es no una respuesta, sino una aclaración de mi pregunta.

De hecho, se está pensando en la Sección VIII.8 de su libro y, especialmente, su 1984 Mathematika papel que llevó a la pregunta.

Como en su papel, hay una analogía con discriminantes de los campos de número. Mantener a la puramente local de la situación, vamos a $K$ ser una extensión finita de la $p$-adics, con anillo de enteros $\mathfrak{o}$, y deje $L$ ser una extensión finita de $K$. Entonces el discriminante $\delta_{L|K}$ $L|K$ puede ser pensado, después de Fröhlich, como un elemento del grupo $K^\times/\mathfrak{o}^{\times 2}$.

Al $L|K$ es unramified, $\delta_{L|K}$ es un elemento de $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times 2}$, y de su orden como un elemento de este grupo --- las únicas posibilidades son $1$ $2$ - - - nos da la paridad de $[L:K]$. Más precisamente, $\delta_{L|K}$ orden $1$ si $[L:K]$ es impar, el fin de $2$ si $[L:K]$ es incluso.

Volvamos ahora a nuestra buena reducción de la curva elíptica $E$$K$, cuyo discriminante $\delta_{E|K}$ es un elemento de $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times 12}$. La pregunta es, ¿qué hace el orden de los elementos $\delta_{E|K}$ en dicho grupo --- las posibilidades de la orden de $1,2,3,4,6,12$ --- cuéntenos acerca de la curva de $E$ ?

Por ejemplo, para que las curvas de $E$ $\delta_{E|K}$ trivial en $\mathfrak{o}^\times/\mathfrak{o}^{\times 12}$ ?