Encontrar una función que se aproxima otra función

Question

Uno de mis profesores de matemáticas me dio el siguiente reto. No es gradual, es sólo por diversión.

Considere la función:

\begin{equation*} f_n(x)=x+3^3x^3+5^3x^5+...+(2n-1)^3x^{2n-1},~x \in (0, 1). \end{ecuación*}

Quiero saber cual de las siguientes funciones $f_n$ está muy cerca de llegar a como $n$ hace más:

$ \displaystyle a)\frac{x(x+1)(x^4+22x^2+1)}{(x-1)^4(x+1)^4}$ $\displaystyle b) \frac{x(x^2+1)(x^4+22x^2+1)}{(x-1)^4(x+1)^4}$

$\displaystyle c) \frac{x^2(x+1)(x^4+22x^2+1)}{(x-1)^4(x+1)^4}$ $\displaystyle d) \frac{x^2(x^2+1)(x^4+22x^2+1)}{(x-1)^4(x+1)^4}$

Basado en algunas pruebas me encontré en mathematica, dando a $n$ $x$ de los valores, se parece a $b)$ es la respuesta, pero no estoy seguro. ¿Alguien puede confirmar o negar esto, y mostrar cómo uno podría encontrar la respuesta correcta, ya sea con lápiz y papel o mediante el uso de mathematica o maple o algún otro software?

Answer 1

Sí parece que debe ser b)

Considere lo siguiente:

Sólo hay un $x$ factor, por lo que este elimina las opciones c) y d).

La función es impar, yo.e $f(-x) = -f(-x)$, por lo que de esta forma se elimina una).

Por lo tanto b) debe ser la respuesta.

Para encontrar la respuesta a mano, usted puede hacer lo siguiente:

Empezar con

$$f(x) = x + x^3 + x^5 + \cdots = \frac{x}{1-x^2} $$

Ahora diferenciar

$$f'(x) = 1 + 3x^2 + 5x^4 + \cdots $$

Multiplicar por $x$

$$f'(x)x = x + 3x^3 + 5x^5 + \cdots $$

Diferenciar de nuevo

$$(f'(x)x)' = 1 + 3^2 x^2 + 5^2 x^4 + \cdots $$

Multiplicar por $x$, se diferencian de nuevo y luego se multiplica por $x$ a dar la respuesta.

Answer 2

Si b).

En maple, si lo haces

  map(factor, sum((2*i-1)^3*x^(2*i-1),i=1..n));
 

El resultado será 2 términos, uno que tiene la forma$(x^2)^{(n+1)}*r(n,x)$ con$r(n,x)$ polinomio en$n$ y racional en$x$, y el segundo término es (exactamente) (b).

Lo que esto es en realidad es escribir$$\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^3x^{2i-1} = \sum_{i=1}^{\infty} (2i-1)^3x^{2i-1} - \sum_{i=N-1}^{\infty} (2i-1)^3x^{2i-1}$ $ (y el término del pedido se invierte en la salida de Maple). Ambas sumas resultantes son 'fáciles' de hacer a mano.

Answer 3

Aquí hay otra manera de verificar que es (b). Deje Mathematica hacer fracciones parciales de descomposición:

 Apart[x(x^2+1)(x^4+22x^2+1)/(x^2-1)^4]
 

Esto da$\frac{1}{2 (x+1)}-\frac{7}{2(x+1)^2}+\frac{6}{(x+1)^3}-\frac{3}{(x+1)^4}+\frac{1}{2 (x-1)}+\frac{7}{2(x-1)^2}+\frac{6}{(x-1)^3}+\frac{3}{(x-1)^4}$, que se puede expandir en series de potencia utilizando la serie geométrica y sus derivados.

Por supuesto, esto es feo y requiere que sepas la respuesta por adelantado. La respuesta de Moron es mucho mejor. ;-)

Answer 4

Esto podría ser otra manera de abordar el problema:

$f_n$ es un polinomio, por lo que es la expansión de Taylor de sí misma en cada punto, a continuación, podemos elegir cualquier punto en $[0,1]$, decir 0, y ver cuáles son las expansiones de Taylor de sus cuatro posibilidades. En este caso verás que $b)$ tiene una expansión de Taylor en $x =0$ que es exactamente el mismo que $f_n$, por lo que de su respuesta.

Por otro lado, desde que hice los cálculos en mi equipo, yo realmente no sé cómo complicado que es encontrar la respuesta en este camino. (Como Morón señaló, asimismo, una revisión rápida de la simmetry de las funciones que se le da la respuesta correcta)