¿Significa "las funciones de acuerdo al infinito" de cualquier cosa?

Question

Quiero una manera de describir cómo dos funciones continuas $f,g \colon (X-x) \to Y$ puede "compartir un límite" en el punto de $x$ cuando desafortunadamente, ni los de $\displaystyle \lim _{y \to x}f(x)$ o $\displaystyle \lim _{y \to x}g$ ocurren a existir..

Permítanme darles un ejemplo. Supongamos $x = 0$ $f,g \colon (0,1] \to \mathbb R$ se dan por $f = \sin(1/x)$$g = \sin(1/x) +x$. Entonces para cualquier prescrito $\epsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ de manera tal que, cuando me restringir las funciones para el balón $B(0,\delta)$ sus gráficos son dentro de la distancia $\epsilon$ de cada uno de los otros.

Sin embargo, en este caso es mucho más fácil. Podemos tomar la diferencia de las funciones de $(f-g)(x) =x$ y se dice que la función tiende a cero en $x$. Pero esto depende de cómo la línea real tiene una estructura aditiva. Si reemplazamos el codominio con algo más exótico que esta definición podría no aplicarse.

Así que ¿cómo podría yo formalizar esta idea de "estar de acuerdo en el infinito" para obtener más general de espacios topológicos $Y$?

Answer 1

Su pregunta es cómo definir

$$\lim_{x\to x_0} |f-g|=0$$ para dos funciones continuas $f,g: X\to Y$ donde $X,Y$ general de espacios topológicos.

Si $X,Y$ son de métrica espacios y definir una métrica $d_y$ $Y$ y una métrica $d_x$$X$. Entonces podemos formalizar la noción de

$$\lim_{x\to x_0} |f-g|=0$$

como a continuación:

Para cualquier prescrito $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ de manera tal que, cuando se restringen las funciones para el balón $\{x\in X|d_x(x_0,x)<\delta\}$, tenemos $d_y(f(x),g(x))<\epsilon$.

La idea es generalizar el concepto de distancia$\epsilon$$\mathbb{R}$$Y$, que es definir el concepto de "distancia" en la $Y$. Esta es la concepción de "espacio métrico". Mi referencia es James Munkres,la Topología,la página 119. Wiki es también una buena referencia.