Ecuación diofantina exponencial:$2p^2-6p+7=3^n$.

Question

Estoy intentando probar que las únicas soluciones positivas para enteros son$(n=1,\ p=1)$ y$(n=3,\ p=5)$. ¿Hay una manera simple de hacer eso?

Answer 1

Deje $p=a$ ser cualquier número entero. $(2a-3)^2+5=2\cdot 3^n$, ahora $3$ de los casos:

• $n=3k$. A continuación,$(2(2a-3))^2+20=\left(2\cdot 3^k\right)^3$. Pero $x^2+20=y^3$ $2$ soluciones integrales (http://oeis.org/A081120) $(x,y)=(\pm 14,6)$, lo $(a,k)\in\{(5,1),(-2,1)\}$, lo $(a,n)=(5,3),(-2,3)$.

• $n=3k+1$. A continuación,$(6(2a-3)))^2+180=\left(2\cdot 3^{k+1}\right)^3$. Pero $x^2+180=y^3$ $4$ soluciones integrales (http://oeis.org/A081120en particular http://oeis.org/A081120/b081120.txt) $(x,y)=(\pm 6,6),(\pm 573,69)$, lo $(a,n)=(2,1),(1,1)$.

• $n=3k+2$. A continuación,$(18(2a-3))^2+1620=\left(2\cdot 3^{k+2}\right)^3$, no hay soluciones (http://oeis.org/A081120/b081120.txt).