¿Cómo puedo probar estas sumas para el símbolo legendre?

Question

¿Cómo puedo probar para el símbolo de Legendre que:

PS

Answer 1

Sugerencia: intente sumar y una a cada suma, y reindexarla para que parezca una relación de ortogonalidad para los caracteres.

Answer 2

Esto es esencialmente lo que pruebo aquí , después de que hayas notado que$\left(\dfrac{(p-1)p}{p}\right)=\left(\dfrac{p}{p}\right)=0$. La idea principal es tener en cuenta que$\left(\dfrac{a(a+1)}{p}\right)=\left(\dfrac{\dfrac{a+1}{a}}{p}\right)$. Por supuesto, debe estar familiarizado con el hecho de que$\sum\limits_{a=1}^{p-1}{\left(\dfrac{a}{p}\right)}=0$ (que se deduce del hecho de que hay exactamente$\dfrac{p-1}{2}$ residuos cuadráticos no cero$\pmod{p}$ (para$p>2$) )