Cuál es la forma cerrada de esta relación de recurrencia

Question

Tengo la siguiente relación de recurrencia :

$$g(0) = c $$ $$g(i+1) = g(i) + (1-g(i))*g(i)^{2}$$

donde 0 < c < 1. ¿Existe alguna forma cerrada para esta relación? Si no es así, ¿podría darme un límite superior para $g(n)$ ?

Answer 1

Por cada $i\geqslant0$ , $$ 1-g(i+1)=(1-g(i)^2)(1-g(i)). $$ Esto demuestra que la secuencia $(g(i))_{i\geqslant0}$ está aumentando y $g(0)=c$ en $(0,1)$ muestra que $g(i)$ está en $[c,1)$ por cada $i\geqslant0$ . Así, la secuencia $(g(i))$ converge y su límite $\gamma$ es tal que $\gamma\gt c\gt0$ y $1-\gamma=(1-\gamma^2)(1-\gamma)$ Es decir, $$ \color{red}{\lim\limits_{i\to+\infty}g(i)=1}. $$ Por cada $i\geqslant0$ , $$ 1-g(i+1)=(1+g(i))(1-g(i))^2. $$ Esto demuestra que $x(i)=2^{-i}\log(1-g(i))$ resuelve la recursión $$ x(i+1)=x(i)+2^{-i-1}\log(1+g(i)). $$ Iterando esto y partiendo de $x(0)=\log(1-g(0))=\log(1-c)$ se obtiene, por cada $i\geqslant0$ ,, $$ \ \qquad\qquad2^{-i}\log(1-g(i))=\log(1-c)+\sum_{k=0}^{i-1}2^{-k-1}\log(1+g(k)).\qquad\qquad(*) $$ Desde $\log(1+c)\lt\log(1+g(k))\lt\log2$ por cada $k\geqslant0$ la suma en el lado derecho de $(*)$ es una suma parcial de una serie convergente, por lo que $2^{-i}\log(1-g(i))$ converge a un límite finito $-K_c$ tal que $0\leqslant K_c\leqslant-\log(1-c^2)$ . Es decir, $$ \color{red}{g(i)=1-\exp(-2^iK_c+o(2^i))}. $$ Por último, la suma en el lado derecho de $(*)$ siendo no negativo, $2^{-i}\log(1-g(i))\geqslant\log(1-c)$ Es decir, $$ \color{red}{g(i)\leqslant1-(1-c)^{2^i}}. $$ Nota 1: La última estimación anterior puede refinarse ya que $\sum\limits_{k=0}^{i-1}2^{-k-1}=1-2^{-i}$ y $g(k)\geqslant c$ por cada $k\geqslant0$ Por lo tanto $$ 2^{-i}\log(1-g(i))\geqslant\log(1-c)+(1-2^{-i})\log(1+c), $$ es decir, $$ g(i)\leqslant1-(1-c)^{2^i}(1+c)^{2^i-1}. $$ Nota 2: Todo esto no determina si $K_c=0$ o $K_c\gt0$ . No obstante, la fórmula semiexplícita que se obtiene de $(*)$ a saber, $$ -K_c=\log(1-c)+\sum_{k=0}^{+\infty}2^{-k-1}\log(1+g(k)), $$ y el límite superior $g(k)\lt1$ por cada $k\geqslant0$ rendimiento $-K_c\lt\log(2(1-c))$ por lo que $K_c\gt0$ por cada $c\geqslant1/2$ . A partir de aquí, utilizando la función $u:c\mapsto c+c^2(1-c)$ y la notación $u^{k+1}=u^k\circ u$ por cada $k\geqslant0$ se ve que $K_{u(c)}=2K_c$ por cada $c$ en $(0,1)$ . Para cada $c$ en $(0,1)$ existe algún número entero finito no negativo $k(c)$ tal que $u^{k(c)}(c)\geqslant1/2$ Por lo tanto $K_c\geqslant2^{-k(c)}K_{u^{k(c)}(c)}\gt0$ .

Finalmente, $c\mapsto K_c$ es no decreciente en $[0,1)$ , $K_0=0$ , $K_c\to+\infty$ cuando $c\to1$ y $\color{red}{K_c\gt0}$ por cada $\color{red}{0\lt c\lt1}$ .

Answer 2

No creo que haya una forma cerrada. Sin embargo, consideremos la gráfica de $f(x)=x+x^2-x^3=x+(1-x)x^2$ :

No es difícil demostrar que en $[0,1]$ ,

1. $0\le f(x)\le1$

2. $f(x)\ge x$

3. $f(x)=x$ sólo en $0$ y $1$

Si $0<g(1)<1$ la secuencia $g(i+1)=f(g(i))$ siempre está en $[0,1]$ y $g(i+1)\ge g(i)$ . Así, $\lim\limits_{i\to\infty}g(i)$ existe y es $\le1$ . Además, como $f$ es continua, $$ f\left(\lim_{i\to\infty}g(i)\right)=\lim_{i\to\infty}g(i) $$ lo que significa que $$ \lim_{i\to\infty}g(i)=1 $$ Desde $g(1)>0$ .