Diámetro de círculo y acorde

Question

Pregunta:

En círculo con radious$R$ tenemos el diámetro$AB$ y el acorde$CD$. El acorde se interseca con$AB$ en el punto$M$ tal que$\angle CMB = 45^o$. Muestra esa $CM^2 + DM^2 = 2R^2$.

Mi intento:

Estoy seguro de que hay una buena solución, pero a lo único que puedo llegar son algunas declaraciones horribles. Sé que$CM \cdot DM = AM \cdot BM$, pero no estoy seguro de que sirva de ayuda.

Gracias por sugerencias / soluciones de antemano.

Answer 1

Pista: La bisectriz perpendicular de la cuerda pasa por el centro.
Dejar $CM = a, DM = b $

$AM=x, BM = 2R -x$

$x(2R-x) = ab $
y$(\frac{(a-b)}{2})^2 + (\frac{(a-b)}{2})^2 = (R-x)^2$
(El teorema de Pitágoras en el triángulo$OPM$,$O$ es el centro,$P$ es el punto medio del acorde$CD)$

De estas dos ecuaciones obtendrás$a^2 + b^2 = 2R^2$

Answer 2

Tal vez una expresión algebraica argumento también podría ser de alguna utilidad.

Primero mostramos que la $CM^2 + MD^2$ es igual a una constante donde el acorde $CD$ es colocado, y luego encontrar fácilmente la constante teniendo en cuenta la comy caso al $CD$ es un diámetro.

En un sistema cartesiano centrado en el centro de la circunferencia, los puntos de $C$ $D$ está dado por la intersección de la circunferencia $$ x^2 + y^2 = R^2$$ and the line $$ y = x -d$$ where $d = \vert AM \vert$

Uno obtiene la ecuación cuadrática $$ x^2 + (x-d)^2 = R^2$$ From here one can conclude immediately that $x_1^2 + x_2^2 = constante$: of course one could also perform a direct calculation check, by finding the roots $$x_{1,2} = \frac{2d \pm \sqrt{4d^2 - 8(d^2 - R^2)}}{4} $$ y verificar que $$x_1^2 + x_2^2$$ yield and expression where all the terms containing $d$ cancelar.

$x_1^2 + x_2^2 = constant$ $y_1$ $y_2$ son determinados por semejanza de triángulos, incluso sin calcualting el último es posible concluir $$ CM^2 + DM^2 = constant_1$$ and we can find the value of the constant by convenienty looking at the case $M=S$, i.e. when the cord $CD$ es de un diámetro demasiado.

Se deduce trivialmente $$CM^2 + DM^2 = 2R^2 $$