¿Cuál es la solución para $1^i$ ?

Question

$1^x$ es siempre $1$ con los números reales, pero todo se complica con los números complejos. Usando la fórmula de Eulers, sabes que $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ Si se convierte x=2π en esto se obtendría $$e^{i2π}=1$$

y elevando cada lado a la potencia de i se obtiene $$\left(e^{i2π}\right)^i=1^i$$ $$e^{-2π}=1^i$$

¿Pero seguramente esto no es correcto? wolfram alpha dice que esto no es correcto, y si lo es, podría poner 4π, 6π etc. para obtener un número infinito de resultados.

Answer 1

Desde $e^{ix}$ es una función periódica con periodo $2\pi$ entonces tenemos $$e^{2k\pi i} = 1$$ donde $k \in \mathbb{Z}$ . Esto significa que $$1= e^{2\pi i} = e^{-2\pi i} = e^{4\pi i} = e^{-4\pi i}, \text{etc...}$$

A continuación, se eleva $1$ al poder de $i$ rendimientos: $$1^{i} = (e^{2k\pi i})^i = e^{2k\pi i^2} = e^{-2k\pi}$$ donde $k$ se extiende sobre los números enteros.

Answer 2

Estoy de acuerdo con los comentarios y la otra respuesta aquí. El cálculo $1^i = (e^{2k\pi i})^i = e^{2k\pi i^2} = e^{-2k\pi}$ para $k \in \mathbb{Z}$ ilustra bien cómo $1^i$ puede considerarse de valor infinito.

Sólo quería añadir un poco de color a este razonamiento. Para ello, vamos a apelar a una definición estándar de exponenciación. Para los números reales $x$ y $a$ (con $x > 0$ ) solemos definir $x^a := e^{a\cdot \text{log}(x)}$ . Supongamos que esto se puede ampliar sin problemas para $a \in \mathbb{C}$ . Entonces $1^i = e^{i\cdot \text{log}(1)}$ . Pero $\mbox{log}(1)$ es casi seguro que $0$ Así que $1^i = e^{0} = 1$ . ¿Por qué tiene sentido tener otros valores?

La raíz de la cuestión es el logaritmo. Como función $\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ el logaritmo surge como la inversa de la función exponencial $e^x$ . Está bien definido en $\mathbb{R}_{>0}$ porque la exponencial es biyectiva como función $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ . Sin embargo, su compleja extensión $\mbox{$\textbf {exp} $} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\setminus\{0\}$ es no biyectiva. De hecho, ni siquiera es finito a uno: es periódico, con periodo $2\pi i$ . En consecuencia, no tiene una función inversa $\mathbb{C}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C}$ . Sin embargo, si, por ejemplo, restringimos el dominio de $\textbf{exp}$ a una cinta $R_a := \{z \in \mathbb{C}: 2a\pi < \mbox{im(z)} < 2(a+1)\pi\}$ (para cualquier $a \in \mathbb{R}$ ) entonces $\textbf{exp} : R_a \rightarrow \mathbb{C}\setminus B_a$ es de nuevo una biyección (para $B_a: = \{\lambda e^{2a\pi i} : \lambda \in \mathbb{R}_{\geq 0}\}$ , a menudo llamado "corte de rama" de $\mathbb{C}$ ), y podemos definir el mapa inverso $\mathbb{C}\setminus B_a \rightarrow R_a$ que suele llamarse "logaritmo". Sin embargo, aquí el logaritmo es sólo un local inversa a la función exponencial y hay muchas inversas locales diferentes funciones para cada elección de $a\in \mathbb{R}$ . El valor real del logaritmo de un número complejo dado será constante con respecto a $a$ y saltará por $2\pi i$ cuando $a$ cambios por un completo $2\pi$ porque el $2\pi i$ -periodicidad de $\textbf{exp}$ significa que $B_a = B_{a+2k\pi}$ si y sólo si $k \in \mathbb{Z}$ y así obtenemos muchas inversiones locales diferentes (parametrizadas por $k \in \mathbb{Z}$ ) $B_a \rightarrow R_{a+2k\pi}$ para cada rama individual cortada $B_a$ . Técnicamente, no hay una elección "correcta" de logaritmo local; cuando se utiliza uno, sólo hay que tener clara la elección.

Así que para cualquier corte de rama dado $B_a$ (como en el párrafo anterior) no que contiene $1$ Hay muchos logaritmos locales diferentes $\mathbb{C}\setminus B_a \rightarrow R_{a+2k\pi}$ (uno por cada $k \in \mathbb{Z}$ ) y para cada uno, un valor diferente de $\text{log}(1)$ que se extiende sobre $0 + 2k\pi i$ . Por lo tanto, el valor de $1^i = e^{i\cdot \text{log}(1)}$ se extiende sobre $e^{i\cdot(2k\pi i)} = e^{-2k\pi}$ .