Convergencia de expectativas truncadas de orden estadística $E[Y_{k:N}|Y_{k:N}>v]\rightarrow v$

Question

Configuración
Deje $(X_i)_{i\leq N}$ ser un conjunto de me.yo.d. variables aleatorias, con $X_i$ la asignación a algunos intervalo de $[a,b]$.
Deje $Y_{k:N}$ $k$th el fin de estadística de este juego y de $v\in[a,b]$.
Denotar por $f_X,F_X$ el pdf continuo y la continua CDF de $X_i$ y $f_{Y_{k:N}}$ el pdf de $Y_{k:N}$

La cantidad de interés
Estoy interesado en el trunca la espera de la orden de estadística $$E[Y_{k:N}|Y_{k:N}>v].$$ Esto puede ser escrito como $$E[Y_{k:N}|Y_{k:N}>v]=\frac{\int_v^\infty yf_{Y_{k:N}}(y)dy}{\int_v^\infty f_{Y_{k:N}}(y)dy}.$$ Conjetura
Calcular esta cantidad en MATLAB, sugiere que $$E[Y_{k:N}|Y_{k:N}>v]\underset{N\rightarrow\infty}{\rightarrow}v.$$ También mi intuición está en línea con esta hipótesis: Para el cultivo de $N$, el apoyo de $f_{Y_{k:N}}$ se reduce a una pequeña región y podemos predecir $E[Y_{k:N}|Y_{k:N}>v]$ mejor. Además, la probabilidad de que el siguiente valor de estar cerca de la $v$ es grande.

Sin embargo, me falta una prueba formal.
Alguna idea?

Answer 1

Tenemos que asumir algo. Suponga $E|X| < \infty$ $F(v)$ está aumentando, de tal manera que para todos los $u>v$, $F(u) > F(v)$

Para $u > v$ tenemos, $$ P(Y_{k:n} > u | Y_{k:n} > v) = \frac{P(Y_{k:n}>u)}{P(Y_{k:n}>v)}. $$

Ahora $P(Y_{k:n}>x)$ es lo que pide la probabilidad de que fuera de la $n$ trata en la mayoría de las $k-1$ de la $X_i$ es inferior o igual a $x$. Así que si $N_{n,x} \in Bin(F(x),n)$ (binomial distribuido) tenemos, $$ P(Y_{k:n}>x) = P(N_{n,x} < k). $$ Ahora esta probabilidad es la disminución en $x$ y no es difícil ver que podemos escribir para un fijo $k$, $$ P(N_{n,x} < k) = C(x,n)n^{k-1}(1-F(x))^{n-k}, $$ with $C(x,n)<C_1$ and $C(v,n)>C_0$ if $F(v) > 0$, Por lo tanto, $$ \frac{P(Y_{k:n}>u)}{P(Y_{k:n}>v)} = \frac{P(N_{n,u}<k)}{P(N_{n,v}<k)}=\frac{C(u,n)n^{k-1}(1-F(u))^{n-k+1}}{C(v,n)n^{k-1}(1-F(v))^{n-k+1}}=\frac{C(u,n)}{C(v,n)}p^{n-k+1} < \frac{C_1}{C_0}p^{n-k+1}, $$ if $F(v) > 0$, with $0\leq p <1$ due to the fact that $F(v)$ is monotonically increasing at $v$. Hence, this goes to zero as $n$ goes to infinity. If $F(v)=0$, then we note, $E(Y_{k:n}|Y_{k:n}>v)=E(Y_{k:n})$ and it enough to observe that still we have $C(x,n)<C_1$ y $$ P(Y_{k:n}>u) = P(N_{n,u}<k) = C(u,n)n^{k-1}(1-F(u))^{n-k+1} < C_1 n^{k-1} p^{n-k+1} $$ Again with $0\leq p <1$ due to the fact that $F(v)$ is increasing at $v$. Again, because the geometric decrease is faster than the polynomial increase in $n^{k-1}$ this goes to zero as $$ n tiende a infinito.

Esto demuestra que la mayoría de probabilidad de masa se encuentra en$v$, por lo que la expectativa sobre cualquier región finita sobre un $u$ tendrá un valor que tiende a cero y por $E|X|$ es finito, la cola llega a cero y nos quedamos con esencialmente un delta medida en $v$ y la expectativa es, de hecho,$v$.