Este infinito sistema de ecuaciones lineales:
$$ \begin{array}( 2x_1=1 \\ 3x_1+4x_2=2 \\ 4x_1+5x_2+6x_3=3 \\ \cdots \end{array} $$
En otras palabras, este es el caso particular de un sistema:
$$ \begin{array}( a_{11}x_1=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ \cdots + a_{mn}x_n + \cdots=b_m \\ \cdots \end{array} $$
Con los coeficientes dados por:
$$a_{mn}=m + n~~~~~~~~~b_m=m$$
Los sistemas parece dar la secuencia de las siguientes soluciones:
$$x_n= \left| \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix} \right) \right|=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{5}{128}, \cdots \right)$$
Cómo puedo probar que es verdadera?
¿Por qué sucede? Las otras fracciones de los coeficientes binomiales ser obtenida de esta manera (y cómo)? 'De esta manera' me refiero a un sistema triangular con una simple secuencia regular de coeficientes enteros.
He tenido algunos pensamientos, y eso es lo que he intentado. Vamos a suponer, $x_n$ me encontrado son realmente los coeficientes binomiales. A continuación, para $x_m$ tendremos:
$$x_m= \left| \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ m \end{matrix} \right) \right|=\frac{1/2 (1-1/2)(2-1/2)\cdots (m-1-1/2)}{m!}=\frac{m-3/2}{m}x_{m-1}$$
$$x_m= \left(1- \frac{3}{2m} \right)x_{m-1}=x_1-\frac{3}{2}\left(\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\cdots+ \frac{x_{m-1}}{m} \right)$$
$$x_m=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\left(\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\cdots+ \frac{x_{m-1}}{m} \right)$$
Por otro lado, desde el $m^{th}$ ecuación podemos deducir:
$$x_m= \frac{b_m}{a_{mm}}-\frac{1}{a_{mm}}\left(a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+ a_{m,m-1}x_{m-1} \right)$$
$$x_m= \frac{1}{2}-\frac{1}{2m}\left((m+1)x_1+(m+2)x_2+\cdots+ (m+m-1)x_{m-1} \right)$$
No veo cómo obtener esta relación en la misma forma que la anterior. Tal vez debería modificar de alguna manera.
