Deje$X = [0,2]$ y$A = \{0,1,2\}$. Demuestre que$X / A$ es homeomorfo para$C_{1}$ ∪$C_{-1}$

Question

Deje$X = [0,2]$ y$A = \{0,1,2\}$. Demuestre que$X / A$ es homeomorfo para$C_{1}$ ∪$C_{-1}$, donde$C_1$ y$C_{-1}$ son los círculos de radio$1$ centrado en$(1, 0)$ y$(-1, 0)$, respectivamente.

Ok, aquí$[0,2]$ tiene una dimensión$1$ y$A $ tiene una dimensión$0$, ya que es un espacio discreto. La aplicación de la "fórmula" sería$1-0 = 1$, que coincide con la dimensión de la unión entre las dos circunferencias. ¿Es lo correcto? La fórmula es la fórmula de las ligaduras, dimensiones y cocientes.

Answer 1

Usted puede construir una explícita homeomorphism. Como una sugerencia, comenzar con el explícito homeomorphisms $(0,1)\to C_{-1}\setminus\{\langle 0,0\rangle\}$$(1,2)\to C_1\setminus\{\langle 0,0\rangle\}$. Podrás usarlos para construir el homeomorphism desea.

Como lo que yo puedo decir, todo lo que has demostrado es que los dos espacios tienen la misma dimensión, pero eso no es suficiente para mostrar que están homeomórficos.

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Más en detalle, por la petición:

En primer lugar, permítanme darles una idea visual de por qué este cociente debe "parecer" el infinito bucle de $C_1\cup C_{-1}$. Cuando tomamos el cociente por $A$, lo que significa que empezamos a tratar todos los puntos en $A$ como el mismo punto. Visualmente, podemos imaginar empezar con el intervalo cerrado de a$0$$2$, luego en "doblar" el intervalo en forma de "S" para que podamos "pegamento" de los extremos hacia el centro. El resultado es algo aspecto de una "figura 8" y si hacemos girar y estirar un poco, entonces será igual que el de $C_1\cup C_{-1}$. Algunos cocientes son más difíciles de visualizar que otros, pero este es bastante sencillo.

Antes de que me vaya a desarrollar la homeomorphism, echa un vistazo a estas maravillosas ilustraciones se ofreció amablemente por Brian M. Scott. Comienza doblando el intervalo hasta que los extremos de toque, a continuación, el encolado de la suma de los extremos hacia el centro. Esto se traduce en la misma forma, y esperamos que ayude a obtener una mejor idea de lo que estoy describiendo. Si lo desea, puede en realidad físicamente hacer lo que les estoy describiendo el uso de un trozo de cuerda.

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Ahora, si pensamos en la "flexión" proceso que he descrito arriba (con la curva S), o como Brian mostró con sus cuadros, podemos tener una idea de cómo podríamos mapa de $[0,2]\to C_1\cup C_{-1}$ como una primera etapa de desarrollo de la deseada homeomorphism. Los puntos de $0,1,2$ todos deben ser enviados a la de origen $\langle 0,0\rangle$ (ya que se corresponde con el punto rojo que hemos marcado los puntos de $A$), uno de $[0,1],$ $[1,2]$ va a ser envuelto alrededor de" $C_1$ y el otro será "envuelto alrededor de" $C_{-1}$. En última instancia, no importa que se envuelve alrededor de la cual, ni en qué dirección nos envuelva.

La función de $f:[0,2]\to C_1\cup C_{-1}$ dada por $$f(x)=\begin{cases}\left\langle-1+\cos2\pi x,\sin2\pi x\right\rangle & \text{if }0\leq x\le1\\\left\langle1-\cos2\pi x,\sin2\pi x\right\rangle & \text{if }1<x\le2\end{cases}$$ does the job. It starts at the origin when $x=0$, then traces around $C_{-1}$ counterclockwise until it gets back to the origin when $x=1$, then it traces clockwise around $C_1$ until it gets back to the origin when $x=2$. You should verify that $f$ is continuous and onto, and that it is 1-to-1, except at the points of $$ (que se asignan al origen).

Esto induce un mapa de $f^*:[0,2]/A\to C_1\cup C_{-1}$, dado por $f^*(\overline x)=f(x)$ cualquier $\overline x\in[0,2]/A$. Usted debe confirmar que esto está bien definido, 1-a-1, a, continuo, y en un abrir mapa. Por lo tanto, $f^*$ es el deseado homeomorphism.