Encontrar una matriz de orden $p$ en un subgrupo de $\operatorname{GL}_n(\mathbb Z_p)$

Question

Deje $p$ ser una prima fija y $\mathbb Z_p$ el anillo de $p$-ádico enteros. Considerar el subgrupo $G_n\subseteq \operatorname{GL}_n(\mathbb Z_p)$ dado por todas las matrices $(a_{ij})_{ij}$ tal que $$ \begin{align*} v(a_{ij}) &\ge 1 &&\text{if %#%#%}\\ v(a_{ii}-1)&\ge1 &&\text{for all %#%#%}, \end{align*} $$ donde $i>j$ denota la habitual $1\le i\le n$-ádico de valoración de $v$, yo. e. $p$ si $\mathbb Z_p$$v(x) = r$.

Si $x\in p^r\mathbb Z_p\setminus p^{r+1} \mathbb Z_p$, encontrar una matriz de orden $v(0) = \infty$$n\ge p-1$.

Este problema aparece como un ejercicio de Peter Schneider, el libro de $p$-ádico Mentira grupos, ejemplo 23.3, lo que demuestra que $G_n$ lleva un $p$-valoración de si y sólo si $G_n$.

La condición de $p$ es necesario, desde una matriz $n<p-1$ orden $n\ge p-1$ sólo ha $A$-th raíces de la unidad en cuanto a sus valores propios y, por tanto, $p$ tiene que dividir el polinomio característico de a $p$. Por lo tanto, el compañero de la matriz de $f(X) = X^{p-1}+X^{p-2}+\dotsb+ X+1$ da una matriz de orden $A$ $f(X)\cdot (X-1)^{n-p+1}= (X^p-1)(X-1)^{n-p}$ (que incluso tiene entradas en $p$).

Esto es, donde me quedé atrapado. Para $\operatorname{GL}_n(\mathbb Z_p)$, me encontré con la matriz$\mathbb Z$, haciendo que el ansatz $p=3$, y derivada del polinomio característico $\begin{pmatrix}-2 & -1\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ las condiciones $$ \begin{align*} a+d = -1\\ bc = 3ad-1, \end{align*} $$ que tiene cuatro soluciones en $\begin{pmatrix}1+3a & b\\ 3c & 1+3d\end{pmatrix}$; en $X^2+X+1$, $\mathbb Z$ pueden ser elegidos libremente de $\mathbb Z_3$.

Answer 1

Tratemos de esto después de las observaciones que realice en su bien pensado post:

• En primer lugar, podemos suponer que la $n = p -1$ desde $GL_n$ es (isomorfo a) un subgrupo de $GL_{n+m}$$m \geqslant 0$.

Para un anillo de $R$, a menudo es útil pensar en los elementos de $GL_n(R)$ como automorfismos de la $R$-celosía $R^n$. Esto ayudará a motivar a la siguiente construcción, que es muy estándar.

• Deje $\mathfrak{o}$ denotar el anillo de los números enteros en la $p$-th cyclotomic extensión de $K_p := \mathbf{Q}_p(\zeta_p)$. A continuación, $K_p$ tiene el grado $p-1$$\mathbf{Q}_p$. Por lo tanto, $\mathfrak{o}$ $\mathbf{Z}_p$- red de rango $p-1$. Además, $\zeta_p$ define un $\mathbf{Z}_p$-automorphism de $\mathfrak{o}$ orden $p$. Escribir la matriz de la transformación con respecto a la base $\{\theta^j: j = p-2, p-3, \dots, 0\}$ donde $\theta = \zeta_p - 1$. Compruebe que, con respecto a esta base, las entradas de la matriz de la transformación de $\zeta_p$ tiene las propiedades deseadas. (Esto tiene todo que ver con el hecho de que (esta extensión es totalmente ramificado y) el generador de $\theta$ es de Eisenstein para el prime $p$.)

Edit: Para obtener el ejemplo que usted ha trabajado, usted debe tomar la $\theta = \zeta_3 + 1$ lugar. Supongo que esto $\theta$ es otra opción posible en el escenario.