Delta minúscula en ecuación de tipo diferencial

Question

Prefacio : La siguiente pregunta proviene de una expresión vista en un de biofísica publicado en los protocolos de Nature .

Soy consciente de que en notación matemática pura $\delta$ nunca se utiliza en el contexto de las ecuaciones diferenciales, sin embargo, tengo una expresión con la siguiente estructura;

$$\frac{\delta x}{\delta y} = G(x)$$

Donde G es una función que depende de $x$ .

Más que una ecuación diferencial, supongo que es una forma (algo engañosa) de ver el cambio no infinitesimal. En la leyenda aparece el siguiente texto

" $\delta x/ \delta y$ es la tasa de cambio de elipticidad en cualquier momento t"

Pero en el contexto del documento original esto $dt$ es probable que sea un valor igual o superior a 10 ms - es decir, esto puede no ser cierto como $\delta t \rightarrow 0$ . Esto sugiere que tratar la expresión como una ecuación diferencial sería inapropiado. Se agradecerá cualquier opinión o comentario (aunque sólo sea un "sí, tiene sentido").

Answer 1

La tasa de cambio infinitesimal es siempre una abstracción matemática. Incluso para un problema de física simple, como el movimiento de una piedra que cae libremente, nos encontramos con la limitación del modelo como $\delta t\to 0$ . A una escala suficientemente pequeña, la posición y la velocidad de la piedra no están bien definidas: la piedra no es un punto, sus moléculas se mueven, los efectos cuánticos se hacen notar... Cualquier tasa de cambio observada no es instantánea, sino que es la tasa de cambio media durante un periodo de tiempo $\delta t>0$ . Todavía se puede decir "tasa de cambio en el tiempo $t_0$ " en lugar de la más larga "tasa media de cambio a lo largo de un intervalo de tiempo de pequeña longitud $\delta t$ que contiene $t_0$ ". Mientras la tasa de cambio no cambie mucho dentro del $\delta t$ intervalo, esto es algo razonable. Y utilizamos ecuaciones diferenciales para modelar procesos físicos, y los modelos funcionan bastante bien en el marco de la mecánica clásica.

Por lo tanto, no diría que tratar la ecuación (7) como una ecuación diferencial es inapropiado sólo porque la tasa de cambio no se ha medido en intervalos de tiempo $\delta _t<0.01$ . Si se puede resolver de alguna manera como una ecuación diferencial, el resultado podría utilizarse para predecir el comportamiento de $[\theta]_t$ . Y si la predicción se aleja demasiado de la realidad, se buscan las razones.

Al fin y al cabo, las predicciones basadas en modelos no son teoremas. Nadie puede demostrar un teorema sobre las proteínas; los teoremas se refieren a objetos matemáticos, que no son las proteínas.