Resolver

Question

Resolver $x^2+x+7\equiv 0 \pmod{81}$

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Mi trabajo:

Facturización primera $81 = 9^2 = 3^4$

Prueba el valor $x\equiv0,1,2$ $x^2+x+7\equiv0\mod{3}$

tenemos obras de $x\equiv1\mod{3}$.

Ahora la vida esto a $\mod{3^2} = \mod{9}$

Que $x=1+3k$ % entero $k$

$(1+3k)^2 + (1+3k) +7 \equiv0\mod{9}$

$1+6k+0+1+3k+7\equiv0\mod{9}$

$9+9k\equiv0\mod9$

$1+k\equiv0\mod9$

$k\equiv-1\mod9$

$k=-1+9m$ para algún m entero

Levante otra vez $\mod81$

$(-1+9m)^2 + (-1+9m)+7\equiv0\mod81$

$-9m+7\equiv0\mod81$

No puedo continuar... ¿Cómo puedo yo hacerla funcionar???

¡Gracias!

Answer 1

Puede escribir la ecuación de $(x +41)^{2} \equiv -27$ (mod 81). Pero esto significa que no hay solución, como $x+41$ tendría que ser divisible por $9.$ voy a poner en una explicación más detallada, teniendo en cuenta los comentarios y preguntas, incluyendo la corrección de un error de signo en los comentarios. Tenemos $x^{2} + x + 7 \equiv x^{2}+ 82x + 7 $ (mod 81). Esto es (mod 81), igual a $(x+41)^{2}+ 7 -1600,$ y $1600 \equiv -20$ (mod 81). Por lo tanto necesitamos $(x+41)^{2} \equiv -27$ (mod 81), lo cual es imposible en números enteros.

Answer 2

Vamos a argumentar siguiendo su enfoque: como bien dices, $x$ debe ser de la forma $3k+1$. Entonces tenemos que $$x^2+x+7=9k^2+9k+9=9(k^2+k+1).$$ This is a multiple of $81=9\times 9 $ iff $9 $ divides $k ^ 2 + k +1 $. Again, arguing as you did, we see that $k $ must have the form $ 3t +1 $ for some integer $t $, and then $$k^2+k+1=9t^2+9t+3=9(t^2+t)+3,$% $# %9 de #%, por lo que no existen soluciones.

Answer 3

Déjenos hacer el levantamiento, pacientemente. Como fue señalado, la solución de $x\equiv 1\pmod{3}$ levanta a tres soluciones modulo $3^2$, es decir, $1$, $4$ y $7$.

Intentemos ahora levantar a $3^3$. Hacemos el caso $x\equiv 1\pmod 3^2$. Que $x=1+9k$ $k$. Entonces $x^2+x+7\equiv 1+18k+1+9k+7\equiv 27k+9\pmod{3^3}$. Es claro que no existe $k$ que funciona. Un cálculo similar muestra que el % de soluciones no levante $x\equiv 4\pmod{3^2}$y $x\equiv 7\pmod{3^2}$ $3^3$.