Fuerte convergencia de operador de multiplicación

Question

Estoy buscando una condición necesaria y suficiente para una secuencia de operadores de multiplicación $T^{(k)}$ a converger a cero fuertemente. (es decir,$\forall x \in \mathcal{H} \quad ||T^{(k)}x - 0|| \to 0$$k \to \infty$)

Aquí $T^{(k)}$ es el operador $$T^{(k)}: \ell^2 \to \ell^2$$ given by coordinate-wise multiplication, i.e. $$T^{(k)}\left( \underline{x} \right) = (t^{k}_nx_n)_{n \in \mathbb{N}}$$

donde $(t^{k}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es un almacén de secuencia para cada una de las $k$.

Supongo que es obvio que es necesario que $|t^{k}_n| \to 0$ $k\to \infty$ todos los $n\in\mathbb{N}$, pero desde $(t^{k}_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^\infty$ creo que esto también es suficiente, porque tenemos que

$$ \sum|x_n|^2|t^{(k)}_n|^2 \le (\sup{|t^{(k)}_n|})^2\sum|x|^2 \0 \text{ como } k\to\infty $$ desde $$ \sum|x|^2 < \infty \quad \text{y} \quad \sup{|t^{(k)}_n|} \0 \text{ como } k\to \infty $$

Me pregunto si este razonamiento es correcto o si he entendido algo, porque estoy buscando a una mucho más involucrados exposición que intenta lograr una condición necesaria y suficiente, pero hace uso de la convergencia dominada para hacerlo.

Answer 1

La condición necesaria es para cada $n$, $t^k_n \to 0$ $k \to \infty$ (convergencia de pointwise). Esto es no es lo mismo que tener $\sup_n |t_n^k| \to 0$ (convergencia uniforme). Por ejemplo, considerar $t_n^k = n$ $k=n$ y $t_n^k = 0$ $k \ne n$; tenemos $t_n^k \to 0$ por cada $n$, $\sup_n |t_n^k| = k \to \infty$. Y de hecho, el % correspondiente de los operadores $T^{(k)}$no convergen fuertemente (considerar $x_n = 1/n$).