Equivalencia entre la exactitud de los funtores aditivos

Question

Dado $R,S$ anillos con la unidad, que $F: \textbf{mod-R} \longrightarrow \textbf{mod-S}$ un functor aditivo covariante entre las categorías de módulos derechos.

Decimos que $F$ es exacta cuando preserva las secuencias exactas cortas, es decir: dado $0\rightarrow A \stackrel{f}{\to} B\stackrel{g}{\to} C\rightarrow 0$ exacta, la secuencia $0 \stackrel{}{\to} FA \stackrel{F(f)}{\to} FB \stackrel{F(g)}{\to} FC \stackrel{}{\to}0$ es exacta.

Quiero hacer el siguiente ejercicio:

Demuestre que F es exacta si, y sólo si, para todas las secuencias exactas $A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to}C$ la secuencia $FA \stackrel{F(f)}{\to} FB \stackrel{F(g)}{\to} FC$ es exacta.

Lo que he probado:

1) He observado que una secuencia $A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to}C$ es exacta si, y sólo si, la secuencia $0\stackrel{}{\to} ran(f)\stackrel{i}{\to}B\stackrel{\pi}{\to} B/ker(g)\stackrel{}{\to}0$ es exacta.

2) Además, me he dado cuenta de que si $F$ es exacta, entonces preserva las inyecciones y suryecciones entre módulos.

Answer 1

Dejemos que

1. para todas las secuencias exactas $A\xrightarrow fB\xrightarrow gC$ la secuencia $FA\xrightarrow{F(f)}FB\xrightarrow{F(g)}FC$ es exacta;
2. para todas las secuencias exactas $0\to A\xrightarrow fB\xrightarrow gC\to 0$ la secuencia $0\to FA\xrightarrow{F(f)}FB\xrightarrow{F(g)}FC\to 0$ es exacta.

Es evidente que 1. implica 2., porque $0\to A\xrightarrow fB\xrightarrow gC\to 0$ es exacta si y sólo si \begin{gather} 0\to A\xrightarrow fB\\ A\xrightarrow fB\xrightarrow gC\\ B\xrightarrow gC\to 0 \end{gather} son todos exactos.

A la inversa, dejemos que $A\xrightarrow fB\xrightarrow gC$ sea exacta. Entonces $0\to\operatorname{Ker}(f)\to A\xrightarrow f\operatorname{Im}(f)\to 0$ es exacta, por lo que $0\to F\operatorname{Ker}(f)\to FA\xrightarrow{F(f)} F\operatorname{Im}(f)\to 0$ es exacta, por lo que $\operatorname{Ker}(F(f))=F\operatorname{Ker}(f)$ y $\operatorname{Im}(F(f))=F\operatorname{Im}(f)$ y, del mismo modo, $\operatorname{Ker}(F(g))=F\operatorname{Ker}(g)$ y $\operatorname{Im}(F(g))=F\operatorname{Im}(g)$ . En consecuencia, \begin{align} \operatorname{Im}(F(f))&=F(\operatorname{Im}(f))\\ &=F(\operatorname{Ker}(g))\\ &=\operatorname{Ker}(F(g)) \end{align} por lo que $FA\xrightarrow{F(f)}FB\xrightarrow{F(g)}FC$ es exacta como se quería.

Answer 2

Para que la notación sea más clara, denotaremos $f^F := F(f)$ para un morfismo $f$ .

Supongamos que $F$ es exacta. Dada cualquier función $f:A\longrightarrow B$ , dejemos que $i:Kerf \to A$ y $j: Imf\to B$ los mapas de inclusión y $\tilde{f}:A\to Imf$ tal que $j\circ \tilde{f} = f$ . Dado que la secuencia $0 \to Kerf \stackrel{i}{\to} A \stackrel{\tilde{f}}{\to}Imf \to 0$ es exacta, tenemos:

1. $0 \to FKerf \stackrel{i^F}{\to} FA \stackrel{\tilde{f}^F}{\to}FImf \to 0$ es exacta;
2. $\tilde{f}^F$ es suryente, es decir $FImf= \tilde{f}^F[FA]$ ;
3. $Imf^F = Im(j\circ\tilde{f})^F = Im(j^F\circ \tilde{f}^F) = j^F[\tilde{f}^F[FA]]= j^F[F Imf]$ ;
4. Desde $j^F$ es inyectiva y $j^F\circ\tilde{f}^F= f^F$ entonces $Kerf^F = Ker\tilde{f}^F$ ;
5. $Kerf^F = Ker\tilde{f}^F= Im\; i^F = i^F[FKerf]$ .

Por el hecho de que $F$ preserva las inyecciones, tenemos que $Kerf^F\cong FKerf$ y $Imf^F \cong FImf$ .

Ahora, teniendo en cuenta $A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to}C$ exacto, que $i=j$ la inclusión de $Kerg=Imf$ en $B$ . Tenemos: $$ Im f^F = i^F[F Imf] = i^F[FKerg] = Ker g^F.$$

Entonces, la secuencia $FA \stackrel{f^F}{\to}FB \stackrel{g^F}{\to}FC$ es exacta.

A la inversa, observe que una secuencia $0 \to A\stackrel{f}{\to} B\stackrel{g}{\to} C\to 0$ es exacta si es exacta en cada término. Por lo tanto, $0 \to FA\stackrel{f^F}{\to} FB\stackrel{g^F}{\to} FC\to 0$ es exacta porque es exacta en cada secuencia de tres longitudes.