Integral de la $\frac{1}{x\sqrt{x-1}}$ usando fracciones parciales.

Question

Encontrar $$\int\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\ dx.$$

He intentado usar el $A/x + B/\sqrt{x-1}$ método. Que no funciona. He intentado que la sustitución con $t= \sqrt{x-1}$$t^2 +1 = x$. Encontrar el $dt$ y el intercambio con $dx$ crea otro raíz cuadrada en el denominador.

Answer 1

La opción que usted puede haber estado buscando es una "racionalización de la sustitución", $t^2 = x - 1$, que tiene el diferencial de $2t \, dt = dx$. La integral se convierte entonces en

$$ \int \frac{1}{x\sqrt{x-1}}\, dx \ \ \rightarrow \ \ \int \frac{2 t \, dt}{ (t^2 \ + \ 1) \cdot t} = \int \frac{2}{t^2 + 1 } \, dt,$$

lo que también lleva a la arcotangente de la anti-derivada Nehorai muestra.

Answer 2

$$\int\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\ dx.$$

Sustituto $t=x-1$ $dt=dx$

$$=\int\frac{dt}{\sqrt t(t+1)}$$

Sustituto $\nu=\sqrt t$ $d\nu=\frac{dt}{2\sqrt t}$

$$=2\int\frac{d\nu}{\nu^2+1}=2\arctan \nu+\mathcal C=2\arctan \sqrt t+\mathcal C=\color{red}{2\arctan (\sqrt{x-1})+\mathcal C}$$

Answer 3

Dado que el título de la OP es "parte Integral de la $\frac{1}{x\sqrt{x-1}}$ usando fracciones parciales," pensé que podría ser instructivo para presentar una solución con el uso parcial de la fracción de expansión. Para ello, vamos a proceder.

Ahora, otras respuestas ya han sido publicados en cumplimiento de la sustitución de $x=t^2+1$, el resultado de la integración se expresa como

$$\int\frac{1}{x\sqrt{x-1}}\,dx=2\int \frac{1}{t^2+1}\,dt \tag 1$$

Vamos a proceder bajo la suposición de que uno no reconoce el lado derecho de la $(1)$$2\arctan(t)$, y uno insiste en la evaluación de la integral utilizando parcial fracción de expansión. Entonces, podemos escribir el lado derecho de $(1)%

$$\begin{align} 2\int \frac{1}{t^2+1}\,dt&=\frac1i \int \left(\frac{1}{t-i}-\frac{1}{t+i}\right)\,dt\\\\ &=i \log(t+i)-i\log(t-i)+C\\\\ &=\frac i2\log(t^2+1)-\arctan(1/t)-\frac i2\log(t^2+1)-\arctan(1/t)+C'\\\\ &=-2 \arctan(1/t)+C'\\\\ &=2\arctan(t)+C'' \end{align}$$

como se esperaba!