Ejemplo de la función de la satisfacción de fijo $t\in (0,1)$ desigualdad $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

Question

Me gustaría saber un ejemplo de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que no es convexo pero satisface fija $t\in (0,1)$ la siguiente desigualdad: $$f(tx+(1-t)y) \leq t f(x)+(1-t)f(y) \textrm{ for all } x,y \in \mathbb{R}.$$

Sólo sé que dichas funciones deben ser discontinua en todas partes.

Answer 1

Zoltán Daróczy, Zsolt Páles: Convexidad con infinito peso de las secuencias. Stochastica: revista de matemática pura y aplicada, ISSN 0210-7821, Vol. 11, Nº 1, 1987, 5-12, link a pdf.

Lema 1. Deje $D\subseteq\mathbb R^n$ ser un convexo compacto. Deje $f:D\to\mathbb R$ $\alpha$- convexa de la función fija de $\alpha\in(0,1)$, es decir, asumir que $$f(\alpha x+(1-\alpha)y)\le \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y) \qquad (\ast)$$ tiene para todos los $x,y\in D$. A continuación, $f$ es también Jensen convexa, es decir, $(\ast)$ está satisfecho con $\alpha=\frac12$.

Según los autores, el mismo resultado fue obtenido anteriormente por N. Kuhn en el papel de Una nota en la t-de las funciones convexas, pero yo no era capaz de encontrar este documento en línea.

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Basado en el resultado anterior, es suficiente con considerar el $t=\frac12$. Se explicó en esta respuesta que de alguna forma el CA es necesaria para construir no convexa Jensen función convexa. (Ya que cada medibles Jensen convexa de la función es convexa.)