Demostrar que $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ tiene siete subgrupos de orden 2.

Question

Demuestra que $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ tiene siete subgrupos de orden $2$ .

Answer 1

$([0]; [0]; [0])$ ; $([1]; [0]; [0])$ ; $([0]; [1]; [0])$ ; $([1]; [1]; [0])$ ; $([0]; [0]; [1])$ ; $([1]; [0]; [1])$ ; $([0]; [1]; [1])$ ; $([1]; [1]; [1])$ :

Ahora $[0]+[0] = [1]+[1] = [0]$ en $\mathbb Z_2$ y la construcción de la suma directa se define con la operación: $$(x_1; y_1)(x_2; y_2) = (x_1x_2; y_1y_2):$$ Así, si tomamos cualquier $a = (x; y; z)$ elemento en $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ entonces debemos tener $a_2 = (x; y; z)(x; y; z) = (x + x; y + y; z + z) = ([0]; [0]; [0])$ La identidad de $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ .

Hay siete elementos de $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ de orden 2 (todos los elementos excepto $e$ ), y para cada uno de ellos $a$ existe un subgrupo de orden 2, a saber $fe; ag$ . Esto da lugar a siete subgrupos diferentes.

Sin embargo, se trata de todos los subgrupos de orden 2, ya que un subgrupo de orden 2 tiene $e$ y otro elemento más.