Sine-como función de la integral exponencial - es esto real valorada?

Question

Para$x >0$$a > 0$, considere lo siguiente: $$ f(x,a) = \frac{a}{2} \bigg( e^{i}\ \mathrm{Ei}(-i - x) - e^{-i} \ \mathrm{Ei}(i - x) \bigg) $$

Donde $\mathrm{Ei}(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-u}}{u} du$ es la integral exponencial de la función.

Es esta la función de valor real? A mí me parece que es.

Además, hay un nombre para esta función? O una manera de escribir en términos de otras funciones especiales?

Answer 1

Teorema .Deje $f$ ser un complejo de valores de la función, a continuación,

$$f(z) - \overline{f(z)} = 2i \,\mathrm{Im}f(z)$$ $$f(z) + \overline{f(z)} = 2 \,\mathrm{Re}f(z)$$

$\textit{proof}$

Reescribir $$f(z) = \mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)$$

Entonces

\begin{align}f(z) - \overline{f(z)} &= \mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)-\overline{\mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)}\\ &=\mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z) - \mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)\\ &=2i \,\mathrm{Im}f(z) \end{align}

Del mismo modo

\begin{align}f(z) + \overline{f(z)} &= \mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)+\overline{\mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z)}\\ &=\mathrm{Re}f(z)+ i \mathrm{Im}f(z) + \mathrm{Re}f(z)- i \mathrm{Im}f(z)\\ &=2\,\mathrm{Re}f(z) \end{align}

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Corolario. Si $\overline{f(z)} = f(\bar{z})$ $$f(z) - f(\bar{z}) = 2i \,\mathrm{Im}f(z)$$ $$f(z) + f(\bar{z}) = 2 \,\mathrm{Re}f(z)$$

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Deje $z = x+iy$

\begin{align}e^{iy}\mathrm{Ei}(z) - \overline{e^{iy}\mathrm{Ei}(z)} &= e^{iy}\mathrm{Ei}(z) - \overline{e^{iy}}\overline{\mathrm{Ei}(z)} \\ &=e^{iy}\mathrm{Ei}(z) - e^{-iy}\overline{\mathrm{Ei}(z)} \\ &= 2i \, \mathrm{Im} \{ e^{iy}\mathrm{Ei}(z)\} \end{align}

Por lo tanto lo que queda es demostrar que

$$\overline{\mathrm{Ei}(z)} = \mathrm{Ei}(\bar{z})$$

$\textit{proof}$

\begin{align}\overline{\mathrm{Ei}(z)} &= \overline{\int^\infty_1\frac{e^{-zx}}{x}\,dx} \\ &= \int^\infty_1\overline{\frac{e^{-zx}}{x}}\,dx\\ &= \int^\infty_1\frac{e^{-\bar{z}x}}{x}\,dx\\ &= \mathrm{Ei}(\bar{z}) \end{align}