$L^p \subset L^q$ $p\neq q$.

Question

Deje $1\leq p \leq q \leq \infty$.

Es bien sabido que en un número finito de medir el espacio $(X,\mathcal{M}, \mu)$, tenemos la inclusión de $L^q(X,\mathcal{M}, \mu) \subset L^p(X,\mathcal{M}, \mu)$. Preguntas sobre esto ya han sido atendidas ( $L^p$ $L^q$ espacio de inclusión). Pero también contamos con casos especiales, por ejemplo si $\mu$ es el recuento de medir, a continuación,$L^p(X,\mathcal{M}, \mu) \subset L^q(X,\mathcal{M}, \mu)$. En este sitio también encontré esto: Cuando $L^p \subset L^q$$p <q$..

Así que aquí está mi pregunta: ¿cuáles son algunos otros casos de $L^p$ espacio de inclusión? También, ¿cuál es la naturaleza de esta inclusión? Hay ejemplos/criterios de donde $L^p$ es decir, abierto, cerrado (completo), denso, compacto, etc. en $L^q$$p\neq q$. Por supuesto, aquí estamos viendo el $L^p$ funciones con el $L^q$ norma.

Answer 1

Si $X$ es un subespacio de un (normativa) espacio vectorial $Y$, luego

1. $X$ es convexa.
2. $X$ está abierto en $Y$ fib $X=Y$.
3. $X$ es compacto iff es limitado iff $X$={0}$.

Esto responde a algunas de sus preguntas.

Ahora, $L^p$ siempre contiene las funciones simples que se desvanecen fuera de un conjunto finito de medida. Para $q\neq \infty$ (o si la medida que el espacio es finito), estos son densos en $L^q$. Por lo tanto, si $L^p \subset L^q$, esta inclusión es denso bajo los supuestos que acabamos de explicar.

Por lo tanto, bajo la hipótesis de arriba ($q<\infty$ o finita, medir el espacio y $L^p \subset L^q$), $L^p$ está cerrado en $L^q$ si y sólo si $L^p = L^q$, lo que casi nunca se tiene (a menos que el conjunto de $X$ es finito o algo similar sostiene).