Suponga $n$ es incluso. Demostrar que $323$ divide $20^n+16^n-3^n-1$.

Question

Estoy claro cuál es el mejor método para enseñar esta con un mínimo de experiencia matemática.

Answer 1

$$20^{2m}+16^{2m}-3^{2m}-1=400^m-1+256^m-9^m$$

Ahora, $400^m-1$ es divisible por $400-1=399$ $256^m-9^m$ es divisible por $256-9=247$

Ahora, $(247,399)=(247,152)=(95,152)=19(5,8)=19\implies 19\mid (20^{2m}+16^{2m}-3^{2m}-1)$

De nuevo, $$20^{2m}+16^{2m}-3^{2m}-1=400^m-9^m+256^m-1$$

Ahora, $400^m-9^m$ es divisible por $400-9=391$ $256^m-1$ es divisible por $256-1=255$

Ahora, $(255,391)=(136,255)=(136,119)=17\implies 17\mid (20^{2m}+16^{2m}-3^{2m}-1)$

Así, lcm$(19,17)\mid (20^{2m}+16^{2m}-3^{2m}-1)$

Pero lcm$(19,17)=19\cdot17=323$ $(17,19)=1$

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Alternativamente, como $323=19\cdot17$ $(17,19)=1,$

el uso de la congruencia de la propiedad#10 aquí $a\equiv b\pmod m\implies a^n\equiv b^n\pmod m$ donde $n\ge0, a,b,m$ son enteros,

$20^n+16^n-3^n-1\equiv3^n+(-1)^n-3^n-1\pmod{17}\equiv(-1)^n-1$ $\equiv0$ si $n$ es incluso, a continuación, $17\mid (20^n+16^n-3^n-1)$

De nuevo, $20^n+16^n-3^n-1\equiv1^n+(-3)^n-3^n-1\pmod{19}\equiv 3^n\{(-1)^n-1\}$ $\equiv0$ si $n$ es incluso, a continuación,$19\mid (20^n+16^n-3^n-1)$.

Answer 2

Tenemos $323 = 17 \cdot 19$$\gcd(17, 19) = 1$. También, $19 = 20-1 \mid 20^n - 1, 19 = 16 + 3 \mid 16^n - 3^n \Rightarrow 19 \mid 20^n+16^n-3^n-1$ y $17 = 20 - 3 \mid 20^n - 3^n$, $17 = 16+1 \mid 16^n +1 \Rightarrow 17 \mid 20^n+16^n-3^n-1$

$\gcd(17,19)=1 \Rightarrow 323 = 17 \cdot 19 \mid 20^n+16^n-3^n-1$

Answer 3

Sugerencia $\ $ a Continuación, poner $\rm\, m=17,\ n=19,\ a=20,\ b=16,\ c=3,\ d = 1$

$\rm mod\ m\!:\ a\equiv c,\, b\equiv -d\:\Rightarrow\:a^n + b^n - c^n - d^n \equiv\, c^n + (-d)^n - c^n -d^n \equiv\, 0$

$\rm mod\ \,n\!:\ a\equiv d,\, b\equiv -c\:\Rightarrow\: a^n + b^n - c^n - d^n \equiv\, d^n + (-c)^n - c^n -d^n \equiv\, 0$

Answer 4

Desde $n$ incluso:

$20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 1^n + (-3)^n - 3^n - 1 = 1 + 3^n - 3^n - 1 = 0 \bmod 19$

También:

$20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 3^n + (-1)^n - 3^n - 1 = 3^n + 1 - 3^n - 1 = 0 \bmod 17$

De modo que la cantidad es divisible por $17\times 19 = 323$