Demostrando $3^n \geq 3n$ usando inducción matemática

Question

Así que tengo que probar que $3^n$ es mayor que o igual a $3n$ el uso de la inducción. El caso base es un no es un problema, pero me parece que no puede averiguar a dónde ir para $(n-1)$. He tratado de decir: $$3^n=3\cdot3^{n-1}>3\cdot3(n-1)$$ $$3\cdot3(n-1)=9n-9$$

Estoy bastante seguro de que mi objetivo final es $3n$, pero no estoy realmente seguro de cómo llegar allí. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Voy a demostrar que podemos suponer que la desigualdad se cumple para algunos $k$ y el uso que de demostrar que no tiene por $k+1$.

El uso de la base de caso $n=2$, $3^2>3(2)$, que es obviamente cierto.

Ahora, supongamos que para $n=k$ que $3^k>3k$. Esto se llama la hipótesis de inducción. Ahora, debemos demostrar que la desigualdad de la $k+1$.

$3^k>3k$ a través de nuestra hipótesis de inducción.

$3\cdot3^k>3\cdot3k$ multiplicando por $3$ en ambos lados.

$3^{k+1}>3\cdot3k>3k+3=3(k+1)$

Por lo tanto, el paso inductivo y la prueba está completa.

Answer 2

Demostrar (una vez más por inducción) que 9(n-1) es mayor o igual a 3n para n mayor o igual que 2.