Cuando estudio de la Topología, me encontré con un problema. En mi libro, dice que " no podemos admitir que existe un conjunto cuyos miembros son todos los espacios topológicos. Que va a conducir a una contradicción lógica, que no será un conjunto que es un miembro de sí mismo." Pero, ¿por qué no podemos tener un conjunto que es un miembro de sí misma?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No podemos admitir que existe un conjunto cuyos miembros son todos los espacios topológicos. Que va a conducir a una contradicción lógica, que habrá un conjunto que es un miembro de sí misma.
Esto no es del todo falso, pero al menos, su engañosa declaración. Seguro, en el habitual formulación de la teoría de conjuntos (es decir, ZFC), no puede ser miembro de sí misma, pero esto es básicamente porque (para simplificar en exceso un poco) declaramos a través axioma de que "no hay infinito descendente de pertenencia cadenas" (véase también el axioma de regularidad). Esto significa que, en particular, si hay un conjunto $x$ tal que $x \in x$, entonces tendríamos
$$\cdots x \in x \in x$$
que es un infinito reducción de la membresía de la cadena. Así, esta sería una contradicción. El punto, sin embargo, es que son buenas variantes de ZFC en el que existen conjuntos de $x$ satisfacción $x \in x$, véase también el no-bien-fundado la teoría de conjuntos.
De hecho, la topología puede ser desarrollado bastante independientemente de si es o no fundada conjuntos existen. Por lo tanto, que la cita no es un ejemplo de buen matemático de la escritura.
Sin embargo, el autor es correcto que no puede ser un conjunto de todos los espacios topológicos. Ahora usted puede decir:
Espera, puedo definir la noción de un espacio topológico. Su un par de $(X,\tau)$ tal que [lo que sea]. Y si puedo definir un concepto, entonces el conjunto de todas las instancias de ese concepto debe existir. Así, el conjunto de todos los espacios topológicos debe existir.
Suena convincente, ¿verdad? De hecho, durante bastante tiempo, los matemáticos creían que la idea básica de que "si se puede definir un concepto, entonces el conjunto de todas las instancias que el concepto debe existir." Fue Russell quien primero se dio cuenta de que este principio, que se formaliza mediante la (contradictorias) axioma esquema de libre comprensión, es insostenible. La prueba es algo como esto. Supongamos que para cualquier fórmula $\phi(x)$ puedo escribir, no es un conjunto de todos los $x$ satisfacción $\phi(x)$. Entonces, hay un conjunto de todos los $x$ satisfacción $x \notin x$, se $R$. Por lo tanto $y \in R$ fib $y \notin y$, para todos los $y$. Por lo $R \in R$ fib $R \notin R$, una contradicción. Básicamente, esto sucede porque no podemos constantemente decidir si o no $R$ debe ser un elemento de sí mismo. Véase también, de la Paradoja de Russell.
Por lo tanto, tenemos algunos nuevos set-existencia de principios, que (¡ojalá!) no conducir a una total contradicción como la que. La colección estándar de la existencia de los principios que se llama ZFC. Lo que tienes que entender acerca de ZFC es, basado en la filosofía de que "la única razón por la que un conjunto no debería existir, es si es demasiado grande." Así, por ejemplo, tenemos un axioma esquema (es decir, de sustitución) que indica que, si el dominio de un (definible) existe una función, entonces su rango de distribución (aka la imagen) también debe existir. Esto tiene sentido a la luz de la filosofía de ZFC, debido a que el rango de una función siempre tiene cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de su dominio. Así, utilizando este principio, siempre podemos utilizar un conjunto $X$ a demostrar la existencia de una gran cantidad de conjuntos más pequeños (así como de los diferentes grupos de igual tamaño).
Volviendo a la cuestión de espacios topológicos, resulta que ZFC no puede demostrar la existencia de un conjunto de todos los espacios topológicos. De hecho, ZFC puede demostrar que no es ningún conjunto de todos los espacios topológicos, debido a que un conjunto sería "demasiado grandes". El problema con un juego eso es demasiado grande, es que podemos utilizar el principio mencionado para demostrar la existencia de una gran cantidad de conjuntos más pequeños, algunos de los cuales serán paradójico, como la antes mencionada $\{x : x \notin x\}$. Así que, este es el enfoque habitual para (esperemos) evitar las paradojas, y requiere que los grandes colecciones, como la clase de todos los espacios topológicos, no puede existir. Por una razón similar, no hay un "conjunto de todas las cosas", ni un "conjunto de todos los conjuntos", ni nada por el estilo.
Por supuesto, hay otro conjunto de teorías donde el "conjunto de todos los conjuntos" en realidad no existen. Esto es cierto en NFU, por ejemplo; y, si no me equivoco, también se da el caso de que el conjunto de todos los espacios topológicos existe de acuerdo a NFU. Sin embargo, este tipo de conjunto de las teorías tienden a tener sus propios problemas, que es por qué la mayoría de las personas tienden a preferir relativamente "domar" a ZFC (y sus extensiones) a través de la relativamente "loco" conjunto de teorías como NFU.
En conclusión, es cierto que no existe el conjunto de todos los espacios topológicos, al menos en "domar" a las teorías como ZFC. Sin embargo, la razón fundamental de esto es cuestiones de tamaño, no de cuestiones de auto-pertenencia.
Rob Jeffries
Puntos
26630
La declaración:
Un conjunto puede ser miembro de sí misma.
es una consecuencia del llamado Axioma de Fundación o Axioma de Regularidad. Otras consecuencias de este axioma, por ejemplo, que no podemos tener las siguientes situaciones:
- La membresía de bucles: $X \in Y \in X$
- Infinito membresía cadenas: $X \ni Y \ni Z \ni \cdots$
Sin embargo, hoy en día es conocido que una gran cantidad de matemáticas se puede hacer en el llamado $\sf ZF^-$ ( Zermel-Fraenkel axiomas sin Fundamento).
En la situación de un "conjunto de todos los espacios topológicos", nos topamos con un problema más grave que la de un conjunto es un elemento de sí mismo, es decir, de la Paradoja de Russell. Muestra su cara cuando queremos seleccionar de nuestro "set" $\mathscr T$ de los espacios topológicos la colección:
$$\mathscr F = \{T \in \mathscr T \mid T \text{ is not a point of itself}\}$$
Entonces esto $\mathscr F$ induce un subespacio de $\mathscr T$ (en la topología discreta, por ejemplo), y nos lleva a la paradoja de Russell.
Esta paradoja, sin embargo, está vinculada a la observación de que "$\mathscr T$ es demasiado grande para ser un conjunto", como opuesto a "$\mathscr T$ que contiene en sí".
El conjunto axiomático de la teoría de $\sf ZF$ supera esta restringiendo el Axioma de Comprensión (también llamado "Axioma de Especificación"), que especifica cómo podemos formar nuevos conjuntos, en una forma adecuada.
DanV
Puntos
281
En la moderna teoría de conjuntos tenemos el axioma de regularidad, que implica que $A\notin A$ para cada conjunto $A$.
Sin embargo, no es la contradictoria de la parte. Podemos definir una topología en la colección de todos los espacios topológicos, y si que sería un conjunto, entonces será un espacio topológico. Ahora podemos ejecutar en cualquiera de los dos problemas:
- Si sus suposiciones incluyen el axioma de regularidad, a continuación, usted golpea una línea recta contradicción, como se mencionó en la primera línea.
- Sin embargo, incluso si usted no asume que el axioma de que usted todavía tiene una paradoja de Russell como contradicción, como las otras respuestas han señalado.
6005
Puntos
19982
Es posible que desee leer en la paradoja de Russell. Básicamente, el problema es:
Deje $S$ ser el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.
Esto conduce a una contradicción ya que el $S$ no puede contener en sí, ni que no se contienen a sí mismo. Por lo tanto, en general, usted no puede simplemente decir "vamos a $S$ ser el conjunto de todos los conjuntos con $Y$ propiedad", o de lo contrario usted podría ejecutar en una contradicción de este tipo.
La teoría de conjuntos ZFC evita este problema mediante la exigencia de que ningún conjunto puede ser un elemento de sí mismo, a través de el axioma de regularidad. Así que la colección de todos los espacios topológicos no puede ser un conjunto, o de lo contrario podríamos formar un espacio topológico en el que, por lo que es un elemento de sí mismo.
Tom Oldfield
Puntos
7330
Este es, esencialmente, porque de una cosa que se llama "paradoja de Russell", en la ingenua teoría de conjuntos (en donde cualquier cosa puede definir puede ser pensado como un conjunto).
Supongamos que permiten a los conjuntos contienen a sí mismos. A continuación, vamos a $S=\{$conjuntos de $X:X\not\in X\}$. La pregunta es, qué $S$ contienen en sí? Si lo hace, por la definición de $S$, $X\not\in X$. Si no, de nuevo por la definición de $S$,$S\in S$. De cualquier manera tenemos una contradicción. La única manera de evitar esta paradoja es para ser más estrictos cuando se trata de lo que permiten que se establece, y de una manera en la que hacemos esto es no permitir que los conjuntos contienen a sí mismos.
