Suma de una Serie Infinita de

Question

Evaluar las siguientes sumas:

1. $\sum\limits_{i=0}^\infty\frac1{4^i}$.
2. $\sum\limits_{i=0}^\infty\frac i{4^i}$.
3. $\sum\limits_{i=0}^\infty\frac {i^2}{4^i}$.
4. $\sum\limits_{i=0}^\infty\frac {i^N}{4^i}$.

Tengo que hacer los problemas anteriormente sin el uso de derivados financieros. He hecho el primero y el segundo. Estoy atascado en la tercera. No tengo que hacer la última. Cualquier ayuda en cuanto a cómo hacer frente a este problema, sin diferenciar (todos los que me ha ayudado ha utilizado calc, pero no podemos hacer eso!)

Hice la primera usando 1/(1-A) y consiguió 7/6.

Para el segundo, me escribió la serie, S. Entonces me múltiples todos los de la serie 7 y tengo 7S. Me resta entonces S de 7S y se quedó con una serie que podría utilizar 1/(1-A) y encontraron que la respuesta fue 7/36.

¿Cómo puedo usar un método similar para obtener #3?

Gracias!

Answer 1

Para hacer manipulaciones más manejable, voy a considerar las $S_N(x)=\sum_{i=0}^\infty i^N x^i$ $N=0,1,2$ y deja la sustitución de $x=1/4$ para el lector. Para $N=0$ tenemos la costumbre geométrica de la suma de la $S_0(x)=\dfrac{1}{1-x}$. La conocida prueba de esto puede ser reducido a la observación de que

\begin{align} (1-x)S_0(x)=S_0(x)-x S_0(x) =1&+x+x^2+\cdots\\ &-x-x^2-\cdots=1. \end{align}

Este contiene una visión que se generaliza a cualquier potencia de la serie $A(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i$:

\begin{align} (1-x)A(x)=A(x)-x A(x) =a_0&+a_1 x + a_2 x^2+\cdots\\ &-a_0x-a_1x^2-\cdots=a_0+\sum_{i=1}^\infty (a_{i+1}-a_i)x^i \end{align} En otras palabras, multiplicando por $(1-x)$ reemplaza los coeficientes de $A(x)$ con las primeras diferencias de estos coeficientes (que son todos cero para la serie geométrica guardar el cero.) Multiplicando por los factores de $(1-x)$ da la segunda de las diferencias, la tercera de las diferencias, y así sucesivamente.

Para el caso de $N=1$, observamos que la secuencia de $\{0,1,2,3,\ldots\}$ primeras diferencias $\{0,1,1,1,\cdots\}$, y la segunda las diferencias de $\{0,1,0,0,\ldots\}$. En consecuencia,$S_1(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}$. Para $N=2$, tenemos que ir hasta el tercer diferencias:

$$\{0,1,4,9,16,\ldots\}\to \{0,1,3,5,7,\ldots\}\to \{0,1,2,2,2,\ldots\}\to \{0,1,1,0,0,\ldots\}$$

y de esto se puede leer en el formulario de $S_2(x)$ directamente (¿qué es?). La obvia patrón aquí es que el $(N+1)$-th diferencias de $\{i^n\}$ tiene un número finito distinto de cero entradas, y por lo $(1-x)^{N+1}S_N(x)$ es de algún polinomio en $x$. (En realidad, la búsqueda de este polinomio no es tan agradable, ya que requiere de la computación hasta la $(N+1)$ de diferencia, así que esto realmente sólo funciona bien si $a_n$ es un polinomio de bajo grado en $n$.)

Answer 2

La primera es una serie geométrica: $~\displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x},~$ donde $x=\dfrac14.~$ Ahora, ¿qué pasaría

si se va a diferenciar-y-luego-se multiplican ambos lados con respecto a x una vez, dos veces, tres veces, etc. ?