$1 + \frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2+3}+ ... + \frac{1}{1+2+3+...+n} = ?$

Question

¿Cómo puedo simplificar la siguiente serie $$1 + \frac{1}{1+2}+ \frac{1}{1+2+3}+ \frac{1}{1+2+3+4} + \frac{1}{1+2+3+4+5} + \cdot\cdot\cdot + \frac{1}{1+2+3+\cdot\cdot\cdot+n}$$

Por lo que veo, cada término es la inversa de la suma de $n$ números naturales.
Suponiendo que haya $N$ términos en la serie dada, $$a_N = \frac{1}{\sum\limits_{n = 1}^{N} n} = \frac{2}{n(n+1)}$$ $$\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{N} a_N = \sum\limits_{n=1}^{N} \frac{2}{n(n+1)}$$ ... y estoy atascado.

Nunca he hecho este tipo de problema antes _{(soy nuevo en las secuencias y series)} .
Por lo tanto, una explicación clara y detallada de cómo hacerlo sería muy apreciada.

PD- ¡¡¡No sé hacer una serie telescópica!!!

Answer 1

$$ \sum_{n = 1}^{N}{2 \over n\left(n + 1\right)} = 2\sum_{n = 1}^{N}\left({1 \over n} - {1 \over n + 1}\right) = 2\left[1 - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + \cdots + {1 \over N} - {1 \over N + 1}\right] $$ $$ \sum_{n = 1}^{N}{2 \over n\left(n + 1\right)} = 2\left(1 - {1 \over N + 1}\right)\quad\to\quad \color{#0000ff}{\Large 2}\quad\mbox{when}\quad N \to \infty $$

Answer 2

SUGERENCIA: $$\frac {2} {n(n+1)} = \frac 2 n - \frac 2 {n+1}$$

Answer 3

Una pista:

$$\frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$

---

NOTA :

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ Por lo tanto: $$\frac{m}{n(n+1)} = m\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$