Siempre me pareció la copa del producto ligeramente misterioso. Recientemente he descubierto el siguiente interesante teorema (Voisin en el libro de teoría de Hodge y compleja geometría algebraica I, capítulo 4.3):
Para la instalación, deje $(X, \mathcal{O})$ ser un espacio anillado, $\mathcal{F}$, $\mathcal{G}$ poleas de $\mathcal{O}$-módulos, $\mathcal{F}^\bullet, \mathcal{G}^\bullet$ acíclicos resoluciones de $\mathcal{F}, \mathcal{G}$, e $\mathcal{H}^\bullet$ un acíclicos resolución de $\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}$. Supongamos dado un morfismos de complejos $$\phi^\bullet: Tot(\mathcal{F}^\bullet \otimes \mathcal{G}^\bullet) \to \mathcal{H}^\bullet,$$ (where $Tot$ denotes the total (simple) complex associated to a double complex). This data naturally yields homomorphisms $$H^p(X, \mathcal{F}) \otimes H^q(X, \mathcal{G}) \to H^{p+q}(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{G}) \quad(*).$$
El teorema es esta: si $\phi^\bullet$ es compatible con las resoluciones (es decir, la evidente triángulo que implican $\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}$, $Tot(\mathcal{F}^\bullet \otimes \mathcal{G}^\bullet)$ y $\mathcal{H}^\bullet$ es conmutativa), entonces el inducido de morfismos $(*)$ en cohomology es la copa del producto de la vinculación.
La prueba, dice, algo misteriosamente a mí, que el resultado de la siguiente manera según la definición de la copa de productos en hypercohomology y, a continuación, el uso de conmutatividad. Mientras que yo sé acerca de hypercohomology, no está claro lo de la copa de productos podría incluso significar aquí. Se puede explicar de qué Voisin medios, o proporcionar una referencia?
Nota: el teorema básicamente dice que todos esos $\phi^\bullet$ inducir el mismo morfismos en cohomology (independiente de las resoluciones, incluso), por lo tanto no necesitamos en realidad sé que aquí lo de la copa del producto emparejamiento.
Gracias de antemano.
