Solución exacta de un electrón-electrón dispersión?

Question

Uno de los primeros resultados que aparecen en la escuela primaria de la mecánica cuántica es la forma cerrada de la solución a la envolvente de los estados del átomo de hidrógeno. En el enfoque habitual, la dispersión de la teoría se coloca en el lado opuesto del espectro, exclusivamente a pesar de como perturbativa de proceso. Estoy interesado en saber acerca de la dispersión de los estados del átomo de hidrógeno, pero más específicamente en términos de electrón-electrón de dispersión.

Mi pregunta es con respecto a la dispersión de los estados de los electrones eletron de dispersión, que tiene el (no relativista) de Hamilton a continuación.

$$H=\left(\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_1+\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_2\right)+\frac{e^2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}$$

Porque el problema es tan similar a la del sistema protón-electrón, yo esperaría de una solución de forma cerrada para tratar con la dispersión de los estados no-perturbativa. Sin embargo, este problema (de dispersión de Rutherford) es generalmente tratada en los libros de texto usando la aproximación de Born, con divergencias en los bajos de desviación de los ángulos, donde el enfoque se rompe. Estoy especialmente interesado en este régimen.

Así que mis preguntas son las siguientes:

1. En el no-límite relativista, es que hay un no-perturbativa de la solución de un electrón-electrón dispersión? Solución I (ingenuamente) estoy pensando en algo parecido a una expresión para la dispersión de la sección transversal.

2. Cuando la relatividad es introducido (ya sea con la Dirac-ecuación, o de la totalidad de la maquinaria de QED), ¿en qué momento es un no-perturbativa de solución fuera de su alcance? Hay casos especiales (por ejemplo, el total de energías inferior a la necesaria para la producción de par) que son mucho más fáciles de manejar?

Answer 1

El problema es isomorfo a hidrógeno problema. Es el mismo problema de cuerpo, pero con cargas del mismo signo. Es separable en el estándar armónico esférico ecuación y radial de la ecuación. La parte radial de la ecuación tiene solución en términos de Tricomi función hipergeométrica confluente $U$ y Kummer función hipergeométrica confluente $_1F_1$. La segunda es regular y por sí mismo puede representar las ondas estacionarias, mientras que la primera es singular en el país de origen y puede ser combinado con el primero para formar entrantes/salientes de las olas.

Para el caso relativista, no puedo decir nada acerca de los QED (debido a la falta de conocimiento de la misma, pero la separación de variables en la ecuación de Dirac puede ser hecho por cualquier esféricamente simétrica potencial, independientemente de si es atractiva o repulsiva. Usted sólo tendrá que resolver la parte radial. Aquí no estoy seguro de si hay una forma cerrada de la solución, pero, en cualquier caso, junto Odas no debe ser demasiado difícil de resolver numéricamente en comparación con acoplados de ecuaciones en derivadas parciales.