He estado tratando de mostrar que $\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx=\frac{3\pi}{8a^5}$ para $a>0$ utilizando métodos de análisis complejos. Pero por alguna razón no consigo que salga. Tal vez alguien pueda averiguar en qué me estoy equivocando.
Como no hay polos en el eje real, sé que $\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx=2\pi i\cdot\text{Res}\left(\frac{1}{(z^2+a^2)^3},ia\right).$
Para calcular $\text{Res}\left(\frac{1}{(z^2+a^2)^3},ia\right)$ Utilicé el hecho de que en un disco suficientemente pequeño centrado en $ai$ , $\frac{1}{(z+ai)^3}=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-ai)^k$ . Así, $\frac{1}{(z^2+a^2)^3}=\frac{\frac{1}{(z+ai)^3}}{(z-ai)^3}=\sum\limits_{k=0}^\infty c_k(z-ai)^{k-3}$ . Así que $\text{Res}\left(\frac{1}{(z^2+a^2)^3},ia\right)=c_2.$ Dónde $c_2=\frac{d^2}{dz^2}\frac{1}{(z+ai)^3}\bigg|_{z=ai}=\frac{12}{(2ia)^5}=\frac{3}{8ia^5}.$ Pero eso me da $\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+a^2)^3}dx=2\pi i\cdot\text{Res}\left(\frac{1}{(z^2+a^2)^3},ia\right)=2\pi i\cdot\frac{3}{8ia^5}=\frac{3\pi}{4a^5}.$ Lo que está fuera de lugar por $\frac{1}{2}$ . Debo estar cometiendo un error tonto en alguna parte, pero no lo encuentro.
Se agradecería cualquier ayuda.
