Límite inferior y límite superior de funciones en conjuntos densos implica divergencia en conjunto denso incontable.

Question

Leer un artículo de Akcoglu et al. "The strong sweeping out property for lacunary sequences, Riemann sums, convolution powers, and related matters", que se puede encontrar aquí:

http://journals.cambridge.org/abstract_S0143385700008798 ,

Me encontré con un reclamo de la forma: Que $(f_{n})$ sea una secuencia de funciones continuas sobre $[0,1)$ con la medida de Lebesgue, sea $A,B\subset [0,1)$ sean conjuntos densos y $a,b \in [0,1)$ $a>b$ tal que para todo $x \in A$ $\liminf_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) \geq a$ y para todos $x \in B$ $\limsup_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x) \leq b$ . Entonces en un conjunto denso incontable de $x$ es el límite $\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)$ no existe.

Tengo problemas para demostrar este resultado (o incluso para ver por qué debería ser cierto). Según el documento, se deduce del teorema de la categoría Baire, pero no estoy muy seguro de que eso ayude. Además, no tenemos que nuestra secuencia de funciones sea uniformemente continua, lo que lo hace más difícil.

Cualquier idea, ayuda o referencia será muy apreciada.

Answer 1

Así que he hecho algunos progresos en este problema y he conseguido encontrar un conjunto denso, pero no estoy seguro de cómo demostrar la parte incontable. Sin embargo, este hecho me ha bastado. La prueba es la siguiente:

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los límites de limsup y liming son estrictos. Definamos $A_{n} := \{x : f_{n}(x) > a \}$ y $B_{m} := \{x : f_{m}(x) < b \}$ . Como el $f_{n}$ son continuos, $A_{n}$ y $B_{m}$ son conjuntos abiertos. $\bigcup_{n=N}^{\infty}A_{n}\supset A$ y $\bigcup_{m=M}^{\infty}B_{n}\supset B$ Así que $\bigcup_{n=N}^{\infty}A_{n}$ y $\bigcup_{m=M}^{\infty}B_{n}$ son conjuntos densos abiertos. A partir del teorema de la categoría de Baire, la intersección contable \begin{align*} \bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcap_{M=1}^{\infty}\left(\bigcup_{n=N}^{\infty}A_{n}\right)\cap\left(\bigcup_{m=M}^{\infty}B_{m}\right) & = \bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{m=M}^{\infty}\left(A_{n}\cap B_{m}\right)\\ &= \left\{x : \limsup_{N\rightarrow \infty}f_{N}(x) > a \text{ and } \liminf_{N\rightarrow\infty}g_{N}(x)< b\right\} \end{align*} es denso.