Subconjuntos convexos cerrados de $\Bbb R^2$ Encuéntralos todos.

Question

Siento si he puesto esto en el área equivocada, el autor tiene la extraña costumbre de salirse por la tangente. Se trata de la pregunta 66 del capítulo 2 del Análisis Real de Pugh.

Encuentra todos los subconjuntos cerrados y convexos de $\Bbb R^2$ hasta el homeomorfismo. Hay nueve.

Sospecho que tengo 5: $$\varnothing, \Bbb R^2, \{a\}, [a, b]$$ y la bola de la unidad inclusiva. ¿Puede alguien ayudarme con el resto?

Answer 1

Creo que los otros cuatro ejemplos son:

1. El plano cerrado de la mitad superior $ \mathbb{R} \times [0,\infty) $ .

2. La línea $ \mathbb{R} \times \{ 0 \} $ .

3. La línea $ [0,\infty) \times \{ 0 \} $ .

4. La franja infinita $ [-1,1] \times \mathbb{R} $ .

Answer 2

Pista: los otros cuatro no tienen límite.