¿Cómo enseñar la inducción matemática?

Question

Algunos estudiantes no están convencidos de que una demostración por inducción matemática sea una prueba. He dado la analogía de cómo caen los dominós, pero aún así algunos siguen sin estar convencidos. ¿Existe alguna manera muy convincente de introducir la inducción matemática? Necesito algo que tenga un impacto. ¿Existen aplicaciones reales de la inducción?

Answer 1

Me sorprende que todos parezcan estar de acuerdo en general que la analogía de los dominós es buena. A mí me parece pobre: ¿qué tienen que ver los dominós con probar cosas? Es una bonita metáfora, pero simplemente no tiene nada que ver con el tema en cuestión. Ni siquiera recuerdo que haya sido útil cuando me encontré con ella antes de entender la inducción. Tal vez sea un caso especial en ese sentido.

Lo cual me lleva a mi respuesta: buscaría teoremas que admitan una demostración inductiva particularmente simple. También relacionaría esas demostraciones con los estudiantes en un lenguaje más conversacional. Es decir, en lugar de:

  

Primero, demuéstralo para 0. Luego, prueba que si es cierto para n, es cierto para n + 1. Así que debe ser cierto para todos los n.

Aquí hay dos puntos que pueden ser confusos:

1. La noción de demostrar una afirmación "si entonces". Sospecho que muchos estudiantes inicialmente encuentran difícil ver que un "si entonces" pueda siquiera considerarse una "afirmación" en absoluto, la gente está más acostumbrada a pensar en ellos como combinaciones de afirmaciones. La idea de demostrar "A si B", sin siquiera considerar si A es verdadero, parece extraña. Suponiendo que demostré que si hubiera un unicornio, le gustaría el té.
2. El uso de una variable $n$ puede ser una distracción innecesaria para algunos estudiantes con baja habilidad matemática, muchos estudiantes siguen sintiéndose incómodos con las variables hasta la escuela secundaria. Esto es admitidamente un punto menos importante.

Para vencer el problema (1), trabaja por ejemplo. Enuncia un teorema simple y proponte demostrar que es cierto para todos los números (¡no digas "para todos los n"! Simplemente señala el número en la afirmación, escrito en la pizarra, y di "demostraremos que es cierto sin importar cuál sea este"). Demuéstralo para cero. Luego, sin probar ni declarar el paso inductivo como una afirmación separada, sigue adelante y muestra "bueno, porque es cierto para 0, debe ser cierto para 1, porque...". Luego, "pero porque es cierto para 1, podemos usar el mismo argumento para mostrar que debe ser cierto para 2, después de todo...". Repite quizás una vez más. Termine señalando que como el mismo argumento funciona para cualquier número, puedes seguir avanzando todo lo que necesites y la afirmación es cierta para todos los números.

Imagina que nunca te enseñaron la inducción, que estás viviendo en una época antes de las matemáticas abstractas, y recuerda el significado principal de la palabra prueba. Una demostración es lo que usas para convencer a tu compañero humano de que algo debe ser cierto. Si simplemente estuvieras tratando de hacer eso, no estarías lidiando con la separación del paso inductivo como una proposición en sí mismo, usarías el tipo de prueba por ejemplo mucho más fácil de entender (¡y mucho más convincente!) mencionado arriba. La ilustración de por qué eso significa que es cierto para todos los $n$ está en el lenguaje de la prueba misma: es cierto porque podemos seguir haciendo lo que acabamos de hacer dos o tres veces.

Answer 2

Yo uso la analogía del dominó yo mismo, y creo que es la más útil que he visto.

Como un enfoque diferente, también hago lo siguiente, que es más difícil de entender, pero sirve como una forma de introducir ciertas propiedades útiles de los sistemas de números. Considera el conjunto de contraejemplos: es decir, el conjunto de enteros positivos $n$ tal que $P(n)$ es falso. Si este conjunto no está vacío, entonces debe tener un elemento más pequeño. ¿Por qué? En este punto, generalmente encuentro a la persona más joven en la multitud ejecutando el algoritmo "cualquiera más joven que $x(\in\mathbb{N})$ años levante la mano" una vez. Después de eso, puedes señalar el punto exacto donde la inducción debía fallar pero no lo hizo. Luego puedes concluir que la suposición contrapositiva de que el conjunto de contraejemplos no estaba vacío es el culpable.

Por supuesto:

• También necesitas haber explicado la prueba por contradicción.
• Necesitas explicar que no importa cuán grande sea la multitud de contraejemplos (¡incluso infinita!), el algoritmo "levanta la mano" terminará después de un número finito de pasos. Hoy en día, muchos estudiantes han visto computadoras y algoritmos en la escuela, y parecen seguir esto, lo que puede no haber funcionado tan bien hace 40 años.
• También puedes comenzar a modificar el proceso de inmediato, y discutir por qué / cómo el algoritmo "levanta la mano" podría fallar si A) el número de personas participantes es infinito y B) contamos sus edades con precisión infinita en lugar de en años completos. Alternativamente (¿puede ser mejor?) puedes regresar a este ejemplo "memorable" cuando discutas los puntos más finos de la relación de orden de los números reales.

Hazlo de muchas formas. Una explicación puede funcionar para algunos, otra para otra persona. Algunos pueden no entender el punto de ninguno de ellos, pero así son las cosas.

Answer 3

Me gusta bastante la analogía del dominó.

El problema con enseñar la inducción - desde un punto de vista británico pero probablemente aplica en todas partes - es que hay una forma formal de presentarla que deben usar, pero solo tiene sentido si estás familiarizado con la construcción de los números naturales.

En particular, el argumento inductivo formal es aproximadamente el siguiente.
1. Hay un conjunto $S = \{n\in\mathbb N : P(n) \text{ es verdadero}\}$.
2. $0\in S$.
3. $k+1\in S$ para cada $k\in S$.
4. $\mathbb N$ se define como el conjunto más pequeño tal que se cumplen 2. y 3. Por lo tanto $S=\mathbb N.

Pero porque se usa la inducción tan a menudo, es suficiente hacer los pasos dos y tres y escribir inducción en algún lugar de la hoja. En el Reino Unido, los estudiantes reciben una pequeña plantilla de prueba que deben aprender, pero puedes pasar el examen sin entenderla.

Una explicación más intuitiva de la inducción es como una contradicción.

Supongamos que hay algún $n\in\mathbb N$ tal que $P(n)$ es falso, entonces debe haber un $k$ más pequeño tal que $P(k)$ es falso. Podemos mostrar que $k\neq 0$ al verificar que $P(0)$ es verdadero, por lo tanto debemos tener $P(k-1)$ es verdadero, pero $P(k)$ es falso. Pero hemos demostrado que $P(k-1)\Rightarrow P(k)$ lo cual es una contradicción.

Nota que en esta versión es similar a la prueba de Euclides de que hay infinitamente muchos números primos, incluso puedes convertir esa en una inducción, con $P(k)$ siendo la afirmación de que hay al menos $k$ primos. Puedes usar esto como introducción.

Deberías intentar transmitir la idea de que la inducción es un abreviatura para un argumento más profundo, en lugar de presentarlo como un argumento en sí mismo. No recuerdo todos los buenos ejemplos (no soy profesor) pero hay ejemplos de fórmulas que son bastante difíciles de determinar, pero una vez que las tienes la prueba por inducción es muy rápida. Así que la inducción es buena para personas perezosas.

Answer 4

¿Has intentado mostrar cómo funciona en casos especiales?

Por ejemplo, supongamos que has demostrado los pasos de la base y la inducción para $P(n)$. Ahora podemos mostrar que $P(3)$ se cumple:

• $P(0)$ se cumple porque ese es el paso de la base.
• $P(1)$ se cumple porque $P(0)$ se cumple y el paso de la inducción dice que si $P(0)$ se cumple entonces $P(1)$ se cumple.
• $P(2)$ se cumple debido al paso de la inducción y porque $P(1)$ se cumple.
• $P(3)$ se cumple debido al paso de la inducción y porque $P(2)$ se cumple.

Haz esto para algunos casos y se debería notar que si tomas cualquier $n$ siempre puedes "subir la escalera" desde $0$ hasta $n$ de esta manera.

Answer 5

Tal vez intenta una demostración por inducción para demostrar que la suposición de la hipótesis inductiva no es "trampa".

Mi favorita es usar la inducción para probar el enlosado de una L-forma de $2n\times 2n$ es posible usando L-formas de $2\times 2$. Puedes motivarlo diciendo "mira, la forma se puede dividir en $4$ L-formas del tamaño siguiente más pequeño, ¡si supiéramos que podríamos enlosar esas entonces podríamos enlosar todo el conjunto!".