Prueba $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ es irracional

Question

¿Cómo se demuestra que $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ es irracional?

Intenté demostrarlo por contradicción y obtuve esta ecuación: $a^2/b^2 = \sqrt{40}$ .

Answer 1

$\sqrt 2=\dfrac 12\left(\sqrt 2+\sqrt 5-\dfrac 3{\sqrt 2+\sqrt 5}\right)\notin\mathbb Q$ Por lo tanto $\sqrt 2+\sqrt 5\notin \mathbb Q$

Answer 2

Utilice la prueba por contradicción. Supongamos que la suma es racional, es decir $$\sqrt2 +\sqrt5 = {a\over b}$$ donde $a$ y $b$ son números enteros con $b\neq0$ . Ahora reescribe esto como $$\sqrt5={a\over b}-\sqrt2.$$ Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación obtenemos $$5={a^2\over b^2}-2\sqrt2{a\over b}+2.$$ Ahora, resuelve cuidadosamente para $\sqrt2$ y obtener $$\sqrt2={-3b\over 2a}+{a\over 2b.}$$ Esto implica que $\sqrt2$ es un número racional, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $$\sqrt2+\sqrt5$$ es un número irracional.

Answer 3

Usted tiene $$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{10}.$$
El cuadrado de un número racional es racional. Este número, $7 + 2\sqrt{10}$ es racional si $\sqrt{10}$ es racional. El argumento estándar muestra que $\sqrt{10}$ no es racional. Así que hemos terminado aquí.

Answer 4

Dejemos que $\sqrt2+\sqrt5=a$ donde $a$ es racional

$\implies\sqrt2=a-\sqrt5$

Al cuadrarlo obtenemos, $$2=a^2+5-2a\sqrt5\iff\sqrt5=\frac{a^2+3}{2a}$$ que es racional a diferencia de $\sqrt5$

Answer 5

Si su llegada a la ecuación $a^2/b^2=\sqrt{40}$ era correcta, has terminado, porque la ecuación $a^4=40b^4$ para los enteros $a$ y $b$ es una contradicción con el Teorema Fundamental de la Aritmética, que dice que la expresión de un entero como producto de primos sólo puede hacerse de una manera. Pero su sospechosa ecuación de cuarto grado tiene un número de $5$ de la izquierda que es divisible por $4$ pero no así en la derecha.