Ejemplo de un poste simple

Question

Me dijeron que $\operatorname{sech} x$ tiene un poste simple . ¿Podría alguien explicar qué significa eso? He buscado la definición pero implica demasiada jerga como holomorfo, etc. ¿Existe una definición sencilla y por qué es así? Gracias.

Answer 1

Recordemos que $\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$ . Cuando $x \in \mathbb{R}$ el coseno hiperbólico es no negativo, por lo que $\operatorname{sech}(x)$ no tiene polos en el eje real.

Los ceros del coseno hiperbólico están todos a lo largo del eje imaginario en $z_n = i \frac{\pi}{2} + i \pi n$ . Considere una proximidad de tal cero: $$\begin{align} \frac{1}{\cosh(z_n + \epsilon)} &= \frac{1}{\cosh(z_n) \cosh(\epsilon) + \sinh(z_n) \sinh(\epsilon)}\\ &= \frac{1}{\sinh(z_n)} \frac{1}{\sinh(\epsilon)}\\ &\sim \frac{1}{\sinh(z_n)} \left( \frac{1}{\epsilon} + o(1) \right) \end{align} $$ El orden del polo es uno, por lo que se llama simple. Pero como ves, $\operatorname{sech}(x)$ tiene infinitos polos simples.

Añadido : La serie expansión para $\frac{1}{\sinh(\epsilon)}$ se deduce de la expansión en serie para $\sinh(\epsilon) \sim \epsilon + \frac{\epsilon^3}{3!} + \ldots + \frac{1}{(2n+1)!}\epsilon^{2n+1} + o(\epsilon^{2n+2})$ .