Demuestre este límite como $x\to\infty$

Question

Dejemos que $f:(a,\infty)\to\mathbb{R}$ sea una función. Supongamos que para cada $b>a$ , $f$ está acotado en $(a,b)$ y $\lim_{x\to\infty}f(x+1)-f(x)=A$ . Prueba

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=A.$$

Aquí asumimos $f$ ser arbitraria y sin más condiciones. $f$ puede ser continua, discontinua, siempre que se ajuste a todos los supuestos. Tengo algunos problemas con los pasos intermedios.

Answer 1

Tenemos que $$\lim_{x\to\infty}f(x+1)-f(x)=A$$ lo que significa que para cualquier $\varepsilon\in\mathbb R^+$ hay un $n\in\mathbb N$ tal que para cada $x>n$ entonces $A-\varepsilon<f(x+1)-f(x)<A+\varepsilon$ . (si encontramos algún $n<a$ para esta condición, entonces podemos elegir $n=\lceil a\rceil$ para recordar la prueba).

Para simplificar, definiré $g(x):=f(x)-Ax$ entonces tenemos que $g(x+1)-g(x)=f(x+1)-f(x)-A$ y para $x>n$ : $|g(x+1)-g(x)|<\varepsilon$ .

Como $f$ está acotado en $(a,b)$ para cualquier $b>a$ entonces $f$ está acotado en $(a,n+2)$ y como hemos encontrado $n\ge a$ entonces $f$ está acotado en $(n,n+1]$ Llamemos a $\beta$ ese límite: $|f(x)|<\beta$ para cualquier $x$ en $(n,n+1]$ . Además, deja que $\gamma=\beta+(n+1)|A|$ entonces $g$ está acotado y $|g(x)|<\gamma$ para $x\in(n,n+1]$ .

Ahora, podemos demostrar que \begin{align} |g(x)|&\le\gamma+(\lfloor x\rfloor-n)\varepsilon,&&\text{and}\\ \frac{|g(x)|}x &\le\frac{\gamma+(\lfloor x\rfloor-n)\varepsilon}x =\frac\gamma x+\frac{\lfloor x\rfloor-n}x\varepsilon \end{align}

Para cualquier valor positivo fijo $\varepsilon$ tenemos: $$\lim_{x\to\infty}\frac\gamma x+\frac{\lfloor x\rfloor-n}x\varepsilon=\varepsilon$$ para ello $$\lim_{x\to\infty}\left|\frac{g(x)}x\right|=\lim_{x\to\infty}\frac{|g(x)|}x\le\varepsilon$$

Esto debería demostrar que $\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}x=0$ ahora el límite para $\frac{f(x)}x$ debe seguir teniendo $f(x)=Ax+g(x)$ .