Tengo que resolver este recurrencia mediante sustituciones:
$(n+1)(n-2)a_n=n(n^2-n-1)a_{n-1}-(n-1)^3a_{n-2}$ $a_2=a_3=1$.
La única utilidad de sustitución que veo es $b_n=(n+1)a_n$, pero no sé cómo continuar, me podrían ayudar por favor?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
parece que he resuelto. $$(n-2)b_n=(n^2-n-1)b_{n-1}-(n-1)^2b_{n-2}$$
Por lo dividimos por $n-1$ entonces tenemos $$\begin{align*} \left(1-\frac{1}{n-1}\right)b_n&=\left(n-\frac{1}{n-1}\right)b_{n-1}-(n-1)b_{n-2}\\ &=\left(n-1+1-\frac{1}{n-1}\right)b_{n-1}-(n-1)b_{n-2}\\ &=(n-1)(b_{n-1}-b_{n-2})+b_{n-1}\left(1-\frac{1}{n-1}\right) \end{align*}$$
a continuación, $$\left(1-\frac{1}{n-1}\right)(b_n-b_{n-1})=(n-1)(b_{n-1}-b_{n-2})$ $
a continuación, hacemos subtitution $p_n=b_n-b_{n-1}$ $b_2=3,b_3=4$ tenemos que $p_3=1$.
tenemos que $$\begin{align*} &\left(1-\frac{1}{n-1}\right)p_n =(n-1)p_{n-1} \implies\\ &p_n=\frac{(n-1)^2}{n-2}p_{n-1}\implies\\ &p_n=\prod\limits_{k=4}^n{\frac{(k-1)^2}{k-2}}=\frac{n-1}{2}\frac{(n-1)!}{2} \implies\\ &b_n-b_{n-1}=\frac{n!-(n-1)!}{4} \implies\\ &b_n=4+\sum\limits_{k=4}^n{\frac{k!-(k-1)!}{4}}=4+\frac{1}{4}(n!-6)=\frac{10+n!}{4} \implies\\ &a_n=\frac{10+n!}{4(n+1)} \end{align*}$$
user8269
Puntos
46
Así que si $b_n=(n+1)a_n$,$b_{n-1}=na_{n-1}$, e $b_{n-2}=(n-1)a_{n-2}$, y la ecuación se convierte en$$(n-2)b_n=(n^2-n-1)b_{n-1}-(n-1)^2b_{n-2}$$, que es un poco más simple de lo que empezó, aunque debo admitir que no puedo ver de improviso cualquier forma fácil de llegar a una solución a partir de ahí. Se trabaja a partir de un texto o algunas de las notas que tienen otros ejemplos de problemas a través de la sustitución? Tal vez hay una pista en algún otro ejemplo de cómo la mejor manera de proceder.
