Espacio tiempo simétrico más alto no máximamente simétrico

Question

¿Cuál es el número más alto de simetrías (vectores de Killing) que un espacio-tiempo (de 4 dimensiones) puede tener sin ser máximamente simétrico? Según lo que puedo ver, parece ser 7 (que incluye el universo de Einstein y algunos espacio-tiempos de onda pp), pero los teoremas utilizados (en los capítulos 11 y 12 de "Soluciones Exactas de las Ecuaciones de Campo de Einstein" de Stephani) solo se aplican a espacios-tiempos que derivan de una variedad de tensores de energía-impulso (Vacío, vacío lambda, campos de EM, fluidos perfectos, radiación pura).

¿Se puede generalizar ese resultado a todos los espacios-tiempos, independientemente de sus fuentes?

Answer 1

La dimensión submáxima del grupo de isometrías de una variedad pseudo-riemanniana de dimensión $n$ con $n\ge4$ y $n\neq5$ es $$\frac{1}{2}n(n-1)+ 2 .$$

Sin embargo, un resultado demostrado aquí (Teorema 3.2) muestra que en dimensión $4$ las variedades con esa cantidad de isometrías deben ser el espacio de Minkowski.

Por lo tanto, el número máximo de vectores de Killing que puedes tener (sin contar el trivial de Minkowski) es $\bf{7}$.

Parte de los resultados principales del artículo son:

Sean $ l_{0}(n) > l_{1}(n) >... $ las posibles dimensiones de todos los grupos de isometrías de variedades de Lorentz, listadas en orden decreciente. Estas dimensiones se llaman grados de simetrías de Lorentz. Decimos que una variedad de Lorentz conectada de dimensión n $M$, pertenece al j-estrato y escribimos $M\in L_{j}(n)$; si hay un grupo de Lie $K$; $dim K = l_{j}(n)$, que actúa de forma efectiva en $M$ mediante isometrías.

Mostramos que las únicas variedades de Lorentz en $L_{0}(n)$ son el espacio de Minkowski y los espacios Wolf y para $n\ge4$; $n \ne 5$ la única variedad en $L_{1}(n)$ es el espacio de Minkowski.

También puedes consultar el siguiente artículo para obtener información adicional.