¿Es posible definir un tensor de momento energía para partículas puntuales clásicas a partir de una QFT?

Question

Tengo una pregunta sobre el límite semi-clásico de una QFT que hasta ahora nunca he podido resolver. Comencemos con un campo de Klein-Gordon cuantizado por segundo con Lagrangiano $$\mathcal{L}(\phi)=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

Según el teorema de Noether, la siguiente QFT admite un tensor de energía-momento que actúa como operador en un espacio de Fock adecuado

$$\hat{T}_{\mu \nu}: F \rightarrow F$$ $$\hat{T}_{\mu \nu}=\partial_{\mu}\hat{\phi}\partial_{\nu}\hat{\phi}-\eta_{\mu \nu}\hat{\mathcal{L}}$$

Ahora, aquí está mi pregunta:

¿Existe un elemento $|\psi \rangle$ $\in$ $F$ tal que $\langle \psi$|$\hat{T}_{\mu \nu}| \psi \rangle = T_{\mu \nu}^{c}$, siendo $T_{\mu \nu}^{c}$ el tensor de energía-momento de una partícula puntual clásica (por ejemplo, $T_{\mu \nu}^{c}(x,t) = m \delta^3(x)$ para una partícula puntual estática)?

Answer 1

Hay varios problemas con la localización en el espacio en la teoría cuántica de campos. Pero incluso en la mecánica cuántica ordinaria, la función de onda de una partícula en una posición definida se dispersará a medida que pasa el tiempo debido al principio de incertidumbre, por lo que una función delta para todo el tiempo definitivamente no es posible.

Por lo tanto, responderé tu pregunta para un estado propio de momento en su lugar. No mostraré todos los cálculos, pero te mostraré cómo hacerlos tú mismo y ver que para un volumen finito V, en el marco de referencia de la partícula, $T_{00}=m/V$ y todas las demás componentes desaparecen.

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En primer lugar, dado que tu expresión para $T$ implica productos de campos en el mismo punto espacio-temporal, necesitamos ordenar normalmente. Por lo tanto, para calcular $\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle$, necesitarás encontrar $\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(x):|q\rangle$ y $\langle q|:\phi(x)^2:|q\rangle$

Para hacer esto, seguiré la normalización del libro de texto de Peskin. El campo escalar libre es $$\phi(x)=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac {1}{\sqrt{2E_p}}\left(a_p e^{-ip\cdot x}+a^\dagger_p e^{+ip\cdot x}\right)$$ Y los operadores de aniquilación que actúan sobre los estados propios de momento dan $$a_p|q\rangle=\sqrt{2E_p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q)|0\rangle$$ Por lo tanto, si lo intentas tú mismo, encontrarás $$\langle q|:\phi(x)\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y),\qquad\langle q|:\partial_\mu\phi(x)\partial_\nu\phi(y):|q\rangle=2\cos q(x-y)q_\mu q_\nu$$ Entonces, tomando $x=y$,$$\langle q|T_{\mu\nu}|q\rangle =2q_\mu q_\nu,$$ por lo tanto, en el marco de referencia de la partícula $$\langle T_{00}\rangle=2m^2$$.

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Es importante darse cuenta de que los estados $|q\rangle$ no están normalizados para ser adimensionales. Dado que, $$\langle p|q\rangle=2E_p(2\pi)^3\delta^{(3)}(p-q),$$ en una caja de volumen $V$ tenemos, $$\langle p|p\rangle = 2E_p V.$$ Si queremos considerar un valor esperado tiene sentido normalizar estos estados para tener una norma unitaria.

Así que usando estados normalizados de momento en el marco de referencia inercial $$\langle T_{00} \rangle = \frac{2m^2}{2mV} = \frac{m}{V}$$