Que $e_i$ el $i$-ésima columna de la matriz de identidad. ¿Hay una manera fácil de probar que la matriz $$\left[\matrix{\mathbb{I}_n & e_1e_2^T & \cdots & e_1e_n^T\ e_2e_1^T & \mathbb{I}_n & \cdots & e_2e_n^T \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ e_ne_1^T & e_ne_2^T &\cdots & \mathbb{I}_n}\right]$ $ es positivo semidefinite?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La matriz es igual a $ \tilde{I}+\pmatrix{e_1\e_2\\vdots\e_n}\pmatrix{e_1\e_2\\vdots\e_n}^T, $$ donde $\tilde{I}$ es una matriz diagonal del bloque donde el $k$ diagonal bloque es la matriz de identidad de $n\times n$ con $(k,k)$-entrada a cero (compensado en la segundo término con $e_ke_k^T$). Esta identidad "lisiada" es positiva semidefinite y una matriz semidefinite fila uno se agrega a él, por lo que el resultado es positivo semidefinite.
