Demostrar que cada matriz semidefinite positiva tiene valores propios no negativo

Question

Hay un teorema que cada matriz semidefinite positiva sólo tiene valores propios $\ge0$. ¿Cómo puedo demostrar este teorema?

Answer 1

Recordar la definición de un valor propio $\lambda$ (y un vector propio $\vec{v}$):

$$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$$

Para una matriz % semi definida positiva $\vec{x}^TA\vec{x}\ge0$ todos $\vec{x}$. Pero si $\vec{x}$ es un vector propio de $A$, entonces

$$\vec{v}^T\vec{v}\lambda$$

Desde $\vec{v}^T\vec{v}$ es necesariamente un número positivo, a fin de ser mayor o igual a $\vec{v}^TA\vec{v}$, $0$ $\lambda$ debe ser mayor o igual a $0$.

Answer 2

Sugerencia: Comience con la definición. El % de matriz simétrica de $n\times n$ $A$es positivo semidefinite if $x^TAx\geq 0$para todos $x\in\mathbb{R}^n$.

Answer 3

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix#Characterizations. La primera caracterización (modificada un poco para el caso semidefinite) es lo que quieres.