Algunas heurísticas sobre el período de Pisano, los primos y los primos de Fibonacci. ¿Qué razones hay detrás de ellas?

Question

Empecé a leer sobre el período de Pisano , $\pi(n)$ aplicada al clásico Secuencia de Fibonacci e hice algunas pruebas sencillas en busca de posibles propiedades de la secuencia . He observado los siguientes, probados para el primeros 10000 términos :

1. $\pi(n)=n-1 \implies n\in\Bbb P$

2. $\pi(n)=(n-1)/2 \implies n\in\Bbb P$

3. $\pi(n)=(n+1)\cdot 2 \implies n\in\Bbb P$

4. $k \gt 5\ ,\ F_k \in \Bbb P \implies \pi(F_k)/4=k$

No entiendo las razones de los resultados: puntos $1\sim3$ funcionaría como una prueba de primalidad, pero no detecta todos los posibles primos, sólo un subconjunto de ellos, por ejemplo $\{2, 5, 47, 107, 113, 139,\ldots\}$ no cumplen con los puntos $1\sim3$ y no se detectan. Y especialmente el último punto, si la prueba es correcta, significaría que el período de Pisano de un primo de Fibonacci es exactamente cuatro veces el índice del primo de Fibonacci en la secuencia de Fibonacci cuando el índice es mayor que $5$ (siendo $F_5=5$ ) . Por ejemplo: $\pi(1597)= 68$ y $\frac{68}{4}=17$ que es exactamente el índice de $1597$ en la secuencia de Fibonacci, $F_{17}=1597$ .

Me gustaría hacer las siguientes preguntas:

(a) ¿Hay algún contraejemplo? En principio creo que las pruebas son correctas, pero no estoy muy seguro del punto 4. Si alguien pudiera confirmarlo sería genial.

(b) ¿Cuáles son las razones de las observaciones? Supongo que tiene que ver con la relación de los periodos de Pisano y el divisibilidad de los números de Fibonacci por números primos .

(c) Si las observaciones son correctas, ¿encontraríamos pseudoprimos en las listas de primos detectados por las reglas $1 \sim 3$ ?

Probablemente las razones detrás de las observaciones (si no se encuentran contraejemplos) se basan en algunas propiedades simples de los números de Fibonacci, pero no lo veo claro. Cualquier pista o idea será bienvenida. Gracias.

Actualización 2016/01/14 : He modificado la información sobre el punto $4$ sólo para mantener la información correcta. Después de probar de nuevo, hay otros $n$ de cumplir con $4$ y no ser primos de Fibonacci, por lo que he reescrito la afirmación: el período de Pisano de un primo de Fibonacci parece ser cuatro veces su índice de Fibonacci (posición en la secuencia de Fibonacci), pero eso también es válido para algunos otros números.

Anexo : A continuación se muestra el gráfico $n \rightarrow \pi(n)$ incluyendo el puño $100$ números que muestran las reglas $1\sim3$ . Regla $1$ : $\color{red}{Red}$ Regla $2$ : $\color{blue}{Blue}$ Regla $3$ : $\color{green}{Green}$ (haga clic para ampliar).

Answer 1

Creo que las tres primeras afirmaciones son falsas. Los números con estas propiedades son análogos a Pseudoprimas de Fermat y, en particular, no hay ninguna razón para esperar que, de hecho, siempre sean primos, aunque los contraejemplos podrían ser bastante grandes.

Utilizando la fórmula de Binet como en los comentarios de Jyrki, se pueden demostrar resultados como los siguientes. Sea $p \neq 5$ sea un primo. Necesitaremos el Símbolo de Legendre $\left( \frac{5}{p} \right)$ que es igual a $1$ si $p \equiv 1, 4 \bmod 5$ y $-1$ si $p \equiv 2, 3 \bmod 5$ . Por razones que se harán evidentes escribiré $F_n$ como $F(n)$ .

Primero,

$$F(p) \equiv \left( \frac{5}{p} \right) \bmod p.$$

Siguiente,

$$F \left( p - \left( \frac{5}{p} \right) \right) \equiv 0 \bmod p.$$

Estos son los dos resultados básicos, análogos al pequeño teorema de Fermat. Juntos permiten acotar el período de Pisano de los primos de la siguiente manera: si $\left( \frac{5}{p} \right) = 1$ , entonces el período de Pisano se divide $p - 1$ . Si $\left( \frac{5}{p} \right) = -1$ , entonces el período de Pisano se divide $2(p + 1)$ .

Esta es una explicación parcial de su primera observación. Para tus dos segundas observaciones tenemos el siguiente resultado, ligeramente más difícil. Si $p \equiv 1 \bmod 4$ entonces

$$F \left( \frac{p - \left( \frac{5}{p} \right)}{2} \right) \equiv 0 \bmod p.$$

Answer 2

Creo que no es difícil demostrarlo. De hecho, sólo con la definición. Por ejemplo, si $\pi(n)=n-1$ y $n=4k+1$ entonces $4k+1$ divide $F_{4k}$ y $4k+1$ divide $F_{4k+1}-1=F_{2k+1}L_{2k-1}$ . Dejemos que $p$ sea un primo que divide a $4k+1$ entonces $\pi(p)\mid 4k$ y $\pi(p)\mid 2k+1$ (sin pérdida de generalidad, ya que $\gcd(F_{2k+1},L_{2k-1})=1$ ). Así, $pi(p)\mid 2(2k+1)-4k=2$ . Así, $\pi(p)=1$ o $2$ y la conclusión es la siguiente.